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图基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 n 的无向图，则各种操作的实现方式如下图所示。

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 O(n) 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n-1)^2 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n^2) 时间。
• 初始化：传入 n 个顶点，初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ，使用 O(n) 时间；初始化 n \times n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n^2) 时间。

=== "初始化邻接矩阵"

=== "添加边"

=== "删除边"

=== "添加顶点"

=== "删除顶点"

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。

=== "Python"

```python title="graph_adjacency_matrix.py"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Java"

```java title="graph_adjacency_matrix.java"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="graph_adjacency_matrix.go"
[class]{graphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_adjacency_matrix.swift"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "JS"

```javascript title="graph_adjacency_matrix.js"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "TS"

```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Dart"

```dart title="graph_adjacency_matrix.dart"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Rust"

```rust title="graph_adjacency_matrix.rs"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="graph_adjacency_matrix.c"
[class]{graphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"

```

基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 $n$、边总数为 m ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 O(m) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 O(1) 时间。
• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n + m) 时间。
• 初始化：在邻接表中创建 n 个顶点和 2m 条边，使用 O(n + m) 时间。

=== "初始化邻接表"

=== "添加边"

=== "删除边"

=== "添加顶点"

=== "删除顶点"

以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，我们在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示顶点，而这样做是有原因的。

1. 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
2. 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 i 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 > i 的索引全部减 1 ，这样操作效率较低。
3. 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。

=== "Python"

```python title="graph_adjacency_list.py"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Java"

```java title="graph_adjacency_list.java"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="graph_adjacency_list.go"
[class]{graphAdjList}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_adjacency_list.swift"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "JS"

```javascript title="graph_adjacency_list.js"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "TS"

```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Dart"

```dart title="graph_adjacency_list.dart"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Rust"

```rust title="graph_adjacency_list.rs"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="graph_adjacency_list.c"
[class]{graphAdjList}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="graph_adjacency_list.zig"
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

效率对比

设图中共有 n 个顶点和 m 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。

表   邻接矩阵与邻接表对比

	邻接矩阵	邻接表（链表）	邻接表（哈希表）
判断是否邻接	O(1)	O(m)	O(1)
添加边	O(1)	O(1)	O(1)
删除边	O(1)	O(m)	O(1)
添加顶点	O(n)	O(1)	O(1)
删除顶点	O(n^2)	O(n + m)	O(n)
内存空间占用	O(n^2)	O(n + m)	O(n + m)

观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。