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11.3.   插入排序

「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 数组插入操作 的排序算法。

「插入操作」原理：选定某个待排序元素为基准数 base，将 base 与其左侧已排序区间元素依次对比大小，并插入到正确位置。

回忆数组插入操作，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。

Fig. 单次插入操作

11.3.1.   算法流程

循环执行插入操作：

1. 先选取数组的 第 2 个元素 为 base ，执行插入操作后，数组前 2 个元素已完成排序。
2. 选取 第 3 个元素 为 base ，执行插入操作后，数组前 3 个元素已完成排序。
3. 以此类推……最后一轮选取 数组尾元素 为 base ，执行插入操作后，所有元素已完成排序。

Fig. 插入排序流程

=== "Java"

```java title="insertion_sort.java"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="insertion_sort.cpp"
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int>& nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "Python"

```python title="insertion_sort.py"
def insertion_sort(nums: list[int]) -> None:
    """ 插入排序 """
    # 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]   
    for i in range(1, len(nums)):
        base: int = nums[i]
        j: int = i - 1
        # 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0 and nums[j] > base:
            nums[j + 1] = nums[j]  # 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        nums[j + 1] = base         # 2. 将 base 赋值到正确位置
```

=== "Go"

```go title="insertion_sort.go"
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
    // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        base := nums[i]
        j := i - 1
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        for j >= 0 && nums[j] > base {
            nums[j+1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--
        }
        nums[j+1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="insertion_sort.js"
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        let base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="insertion_sort.ts"
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums: number[]): void {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        const base = nums[i];
        let j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "C"

```c title="insertion_sort.c"
[class]{}-[func]{insertionSort}
```

=== "C#"

```csharp title="insertion_sort.cs"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums)
{
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.Length; i++)
    {
        int bas = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > bas)
        {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = bas;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="insertion_sort.swift"
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums: inout [Int]) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {
        let base = nums[i]
        var j = i - 1
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0, nums[j] > base {
            nums[j + 1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        }
        nums[j + 1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="insertion_sort.zig"
// 插入排序
fn insertionSort(nums: []i32) void {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    var i: usize = 1;
    while (i < nums.len) : (i += 1) {
        var base = nums[i];
        var j: usize = i;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 1 and nums[j - 1] > base) : (j -= 1) {
            nums[j] = nums[j - 1];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
        }
        nums[j] = base;             // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

11.3.2.   算法特性

时间复杂度 $O(n^2)$ ：最差情况下，各轮插入操作循环 n - 1 , n-2 , \cdots , 2 , 1 次，求和为 \frac{(n - 1) n}{2} ，使用 O(n^2) 时间。输入数组完全有序下，达到最佳时间复杂度 O(n) ，因此是“自适应排序”。

空间复杂度 $O(1)$ ：指针 i , j 使用常数大小的额外空间，因此是“原地排序”。

在插入操作中，我们会将元素插入到相等元素的右边，不会改变它们的次序，因此是“稳定排序”。

11.3.3.   插入排序优势

回顾「冒泡排序」和「插入排序」的复杂度分析，两者的循环轮数都是 \frac{(n - 1) n}{2} 。但不同的是：

• 冒泡操作基于 元素交换 实现，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；
• 插入操作基于 元素赋值 实现，只需 1 个单元操作；

粗略估计，冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍，因此插入排序更受欢迎，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都使用到了插入排序，大致思路为：

• 对于 长数组，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 O(n \log n) ；
• 对于 短数组，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 O(n^2) ；

虽然插入排序比快速排序的时间复杂度更高，但实际上在数据量较小时插入排序更快，这是因为复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。