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8.2.   建堆操作 *

如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。

8.2.1.   两种建堆方法

借助入堆方法实现

最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，再将列表元素依次入堆即可。

设元素数量为 n ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 O(\log n) ，在依次入堆时，堆的平均长度为 \frac{n}{2} ，因此该方法的总体时间复杂度为 O(n \log n) 。

基于堆化操作实现

有趣的是，存在一种更加高效的建堆方法，时间复杂度可以达到 O(n) 。我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」。当然，无需对叶结点执行堆化，因为其没有子结点。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
def __init__(self, nums: list[int]):
    """ 构造方法 """
    # 将列表元素原封不动添加进堆
    self.max_heap = nums
    # 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
        self.sift_down(i)
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 构造方法，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="my_heap.js"
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.#siftDown(i);
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="my_heap.ts"
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums?: number[]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.siftDown(i);
    }
}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums)
{
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new List<int>(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    var size = parent(this.size() - 1);
    for (int i = size; i >= 0; i--)
    {
        siftDown(i);
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
        siftDown(i: i)
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
    if (self.max_heap != null) return;
    self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
    while (i > 0) : (i -= 1) {
        try self.siftDown(i - 1);
    }
}
```

8.2.2.   复杂度分析

第二种建堆方法的时间复杂度为什么是 O(n) 呢？我们来展开推算一下。

• 完全二叉树中，设结点总数为 n ，则叶结点数量为 (n + 1) / 2 ，其中 / 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 (n - 1)/2 ，即为 O(n) ；
• 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 O(\log n) ；

将上述两者相乘，可得时间复杂度为 O(n \log n) 。这个估算结果不够准确，因为我们没有考虑到 二叉树底层结点远多于顶层结点 的性质。

下面我们来展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 n ，树高度为 h 。上文提到，结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”。

Fig. 完美二叉树的各层结点数量

因此，我们将各层的“结点数量 \times 结点高度”求和，即可得到 所有结点的堆化的迭代次数总和。

$$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 T(h) 乘以 2 ，易得

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned}

使用错位相减法，令下式 2 T(h) 减去上式 T(h) ，可得

$$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h

观察上式，T(h) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h \newline & = O(2^h) \end{aligned}

进一步地，高度为 h 的完美二叉树的结点数量为 n = 2^{h+1} - 1 ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 O(n) ，非常高效。