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二分搜尋

二分搜尋（binary search）是一種基於分治策略的高效搜尋演算法。它利用資料的有序性，每輪縮小一半搜尋範圍，直至找到目標元素或搜尋區間為空為止。

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給定一個長度為 $n$ 的陣列 `nums` ，元素按從小到大的順序排列且不重複。請查詢並返回元素 `target` 在該陣列中的索引。若陣列不包含該元素，則返回 $-1$ 。示例如下圖所示。

如下圖所示，我們先初始化指標 i = 0 和 j = n - 1 ，分別指向陣列首元素和尾元素，代表搜尋區間 [0, n - 1] 。請注意，中括號表示閉區間，其包含邊界值本身。

接下來，迴圈執行以下兩步。

1. 計算中點索引 m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor ，其中 \lfloor \: \rfloor 表示向下取整操作。
2. 判斷 nums[m] 和 target 的大小關係，分為以下三種情況。
   1. 當 nums[m] < target 時，說明 target 在區間 [m + 1, j] 中，因此執行 i = m + 1 。
   2. 當 nums[m] > target 時，說明 target 在區間 [i, m - 1] 中，因此執行 j = m - 1 。
   3. 當 nums[m] = target 時，說明找到 target ，因此返回索引 m 。

若陣列不包含目標元素，搜尋區間最終會縮小為空。此時返回 -1 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

值得注意的是，由於 i 和 j 都是 int 型別，因此 i + j 可能會超出 int 型別的取值範圍。為了避免大數越界，我們通常採用公式 m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor 來計算中點。

程式碼如下所示：

[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}

時間複雜度為 $O(\log n)$ ：在二分迴圈中，區間每輪縮小一半，因此迴圈次數為 \log_2 n 。

空間複雜度為 $O(1)$ ：指標 i 和 j 使用常數大小空間。

區間表示方法

除了上述雙閉區間外，常見的區間表示還有“左閉右開”區間，定義為 [0, n) ，即左邊界包含自身，右邊界不包含自身。在該表示下，區間 [i, j) 在 i = j 時為空。

我們可以基於該表示實現具有相同功能的二分搜尋演算法：

[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}

如下圖所示，在兩種區間表示下，二分搜尋演算法的初始化、迴圈條件和縮小區間操作皆有所不同。

由於“雙閉區間”表示中的左右邊界都被定義為閉區間，因此透過指標 i 和指標 j 縮小區間的操作也是對稱的。這樣更不容易出錯，因此一般建議採用“雙閉區間”的寫法。

優點與侷限性

二分搜尋在時間和空間方面都有較好的效能。

• 二分搜尋的時間效率高。在大資料量下，對數階的時間複雜度具有顯著優勢。例如，當資料大小 n = 2^{20} 時，線性查詢需要 2^{20} = 1048576 輪迴圈，而二分搜尋僅需 \log_2 2^{20} = 20 輪迴圈。
• 二分搜尋無須額外空間。相較於需要藉助額外空間的搜尋演算法（例如雜湊查詢），二分搜尋更加節省空間。

然而，二分搜尋並非適用於所有情況，主要有以下原因。

• 二分搜尋僅適用於有序資料。若輸入資料無序，為了使用二分搜尋而專門進行排序，得不償失。因為排序演算法的時間複雜度通常為 O(n \log n) ，比線性查詢和二分搜尋都更高。對於頻繁插入元素的場景，為保持陣列有序性，需要將元素插入到特定位置，時間複雜度為 O(n) ，也是非常昂貴的。
• 二分搜尋僅適用於陣列。二分搜尋需要跳躍式（非連續地）訪問元素，而在鏈結串列中執行跳躍式訪問的效率較低，因此不適合應用在鏈結串列或基於鏈結串列實現的資料結構。
• 小資料量下，線性查詢效能更佳。線上性查詢中，每輪只需 1 次判斷操作；而在二分搜尋中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判斷操作、1 次加法（減法），共 4 ~ 6 個單元操作；因此，當資料量 n 較小時，線性查詢反而比二分搜尋更快。