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1. Array and linked list. 2. Computational complexity. 3. Fix a mistake in counting_sort.md
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# 权衡时间与空间
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理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
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**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，则称之为「以时间换空间」。
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选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。
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## 示例题目 *
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以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。
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!!! question "两数之和"
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给定一个整数数组 `nums` 和一个整数目标值 `target` ，请你在该数组中找出“和”为目标值 `target` 的那两个整数，并返回它们的数组下标。
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你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
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你可以按任意顺序返回答案。
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「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应“空间最优”和“时间最优”的两种解法。遵循时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。
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### 方法一：暴力枚举
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考虑直接遍历所有可能的组合。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引（即下标）。
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=== "Java"
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```java title="leetcode_two_sum.java"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "Python"
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```python title="leetcode_two_sum.py"
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[class]{}-[func]{two_sum_brute_force}
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```
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=== "Go"
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```go title="leetcode_two_sum.go"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="leetcode_two_sum.js"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "C"
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```c title="leetcode_two_sum.c"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="leetcode_two_sum.swift"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="leetcode_two_sum.zig"
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[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
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```
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该方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，**属于以时间换空间**。此方法时间复杂度太高，在大数据量下非常耗时。
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### 方法二：辅助哈希表
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考虑借助一个哈希表，key-value 分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组中的每个元素 num，并执行：
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1. 判断数字 `target - num` 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；
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2. 将元素 `num` 和其索引添加进哈希表；
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=== "Java"
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```java title="leetcode_two_sum.java"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "Python"
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```python title="leetcode_two_sum.py"
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[class]{}-[func]{two_sum_hash_table}
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```
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=== "Go"
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```go title="leetcode_two_sum.go"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="leetcode_two_sum.js"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "C"
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```c title="leetcode_two_sum.c"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
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[class]{leetcode_two_sum}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="leetcode_two_sum.swift"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="leetcode_two_sum.zig"
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[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
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```
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该方法的时间复杂度为 $O(N)$ ，空间复杂度为 $O(N)$ ，**体现了以空间换时间**。尽管此方法引入了额外的空间使用，但在时间和空间的整体效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。
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