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# 迭代与递归
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在数据结构与算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与算法的复杂度密切相关。而要重复执行某个任务，我们通常会选用两种基本的程序结构：迭代和递归。
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## 迭代
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「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段代码，直到这个条件不再满足。
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### for 循环
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`for` 循环是最常见的迭代形式之一，**适合预先知道迭代次数时使用**。
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以下函数基于 `for` 循环实现了求和 $1 + 2 + \dots + n$ ，求和结果使用变量 `res` 记录。需要注意的是，Python 中 `range(a, b)` 对应的区间是“左闭右开”的，对应的遍历范围为 $a, a + 1, \dots, b-1$ 。
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=== "Python"
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```python title="iteration.py"
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[class]{}-[func]{for_loop}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="iteration.cpp"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "Java"
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```java title="iteration.java"
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[class]{iteration}-[func]{forLoop}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="iteration.cs"
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[class]{iteration}-[func]{forLoop}
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```
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=== "Go"
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```go title="iteration.go"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="iteration.swift"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="iteration.js"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="iteration.ts"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="iteration.dart"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="iteration.rs"
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[class]{}-[func]{for_loop}
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```
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=== "C"
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```c title="iteration.c"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="iteration.zig"
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[class]{}-[func]{forLoop}
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```
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下图展示了该求和函数的流程框图。
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此求和函数的操作数量与输入数据大小 $n$ 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，**时间复杂度描述的就是这个“线性关系”**。相关内容将会在下一节中详细介绍。
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### while 循环
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与 `for` 循环类似，`while` 循环也是一种实现迭代的方法。在 `while` 循环中，程序每轮都会先检查条件，如果条件为真则继续执行，否则就结束循环。
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下面，我们用 `while` 循环来实现求和 $1 + 2 + \dots + n$ 。
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=== "Python"
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```python title="iteration.py"
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[class]{}-[func]{while_loop}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="iteration.cpp"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "Java"
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```java title="iteration.java"
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[class]{iteration}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="iteration.cs"
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[class]{iteration}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "Go"
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```go title="iteration.go"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="iteration.swift"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="iteration.js"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="iteration.ts"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="iteration.dart"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="iteration.rs"
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[class]{}-[func]{while_loop}
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```
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=== "C"
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```c title="iteration.c"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="iteration.zig"
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[class]{}-[func]{whileLoop}
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```
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在 `while` 循环中，由于初始化和更新条件变量的步骤是独立在循环结构之外的，**因此它比 `for` 循环的自由度更高**。
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例如在以下代码中，条件变量 $i$ 每轮进行了两次更新，这种情况就不太方便用 `for` 循环实现。
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=== "Python"
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```python title="iteration.py"
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[class]{}-[func]{while_loop_ii}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="iteration.cpp"
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[class]{}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "Java"
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```java title="iteration.java"
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[class]{iteration}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="iteration.cs"
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[class]{iteration}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "Go"
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```go title="iteration.go"
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[class]{}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="iteration.swift"
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[class]{}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="iteration.js"
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[class]{}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="iteration.ts"
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||
[class]{}-[func]{whileLoopII}
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||
```
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=== "Dart"
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```dart title="iteration.dart"
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||
[class]{}-[func]{whileLoopII}
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||
```
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=== "Rust"
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```rust title="iteration.rs"
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||
[class]{}-[func]{while_loop_ii}
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```
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=== "C"
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```c title="iteration.c"
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[class]{}-[func]{whileLoopII}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="iteration.zig"
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[class]{}-[func]{whileLoopII}
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```
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总的来说，**`for` 循环的代码更加紧凑，`while` 循环更加灵活**，两者都可以实现迭代结构。选择使用哪一个应该根据特定问题的需求来决定。
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### 嵌套循环
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我们可以在一个循环结构内嵌套另一个循环结构，以 `for` 循环为例：
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=== "Python"
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```python title="iteration.py"
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[class]{}-[func]{nested_for_loop}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="iteration.cpp"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "Java"
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```java title="iteration.java"
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[class]{iteration}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="iteration.cs"
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[class]{iteration}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "Go"
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```go title="iteration.go"
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||
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="iteration.swift"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="iteration.js"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="iteration.ts"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="iteration.dart"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="iteration.rs"
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[class]{}-[func]{nested_for_loop}
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```
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=== "C"
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```c title="iteration.c"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="iteration.zig"
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[class]{}-[func]{nestedForLoop}
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```
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下图给出了该嵌套循环的流程框图。
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在这种情况下，函数的操作数量与 $n^2$ 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 $n$ 成“平方关系”。
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我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”、“四次方关系”、以此类推。
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## 递归
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「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。
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1. **递**：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。
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2. **归**：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。
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而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。
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1. **终止条件**：用于决定什么时候由“递”转“归”。
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2. **递归调用**：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
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3. **返回结果**：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。
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观察以下代码，我们只需调用函数 `recur(n)` ，就可以完成 $1 + 2 + \dots + n$ 的计算：
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=== "Python"
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```python title="recursion.py"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="recursion.cpp"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "Java"
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```java title="recursion.java"
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[class]{recursion}-[func]{recur}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="recursion.cs"
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[class]{recursion}-[func]{recur}
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```
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=== "Go"
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```go title="recursion.go"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="recursion.swift"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="recursion.js"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="recursion.ts"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="recursion.dart"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="recursion.rs"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "C"
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```c title="recursion.c"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="recursion.zig"
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[class]{}-[func]{recur}
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```
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下图展示了该函数的递归过程。
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虽然从计算角度看，迭代与递归可以得到相同的结果，**但它们代表了两种完全不同的思考和解决问题的范式**。
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- **迭代**：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
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- **递归**：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。
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以上述的求和函数为例，设问题 $f(n) = 1 + 2 + \dots + n$ 。
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- **迭代**：在循环中模拟求和过程，从 $1$ 遍历到 $n$ ，每轮执行求和操作，即可求得 $f(n)$ 。
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- **递归**：将问题分解为子问题 $f(n) = n + f(n-1)$ ，不断（递归地）分解下去，直至基本情况 $f(0) = 0$ 时终止。
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### 调用栈
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递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。
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- 函数的上下文数据都存储在称为“栈帧空间”的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。因此，**递归通常比迭代更加耗费内存空间**。
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- 递归调用函数会产生额外的开销。**因此递归通常比循环的时间效率更低**。
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如下图所示，在触发终止条件前，同时存在 $n$ 个未返回的递归函数，**递归深度为 $n$** 。
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在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出报错。
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### 尾递归
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有趣的是，**如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用**，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。
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- **普通递归**：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下文。
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- **尾递归**：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无需继续执行其他操作，因此系统无需保存上一层函数的上下文。
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以计算 $1 + 2 + \dots + n$ 为例，我们可以将结果变量 `res` 设为函数参数，从而实现尾递归。
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=== "Python"
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```python title="recursion.py"
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[class]{}-[func]{tail_recur}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="recursion.cpp"
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[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "Java"
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```java title="recursion.java"
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[class]{recursion}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="recursion.cs"
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[class]{recursion}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "Go"
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```go title="recursion.go"
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[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="recursion.swift"
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||
[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="recursion.js"
|
||
[class]{}-[func]{tailRecur}
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||
```
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=== "TS"
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```typescript title="recursion.ts"
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||
[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="recursion.dart"
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||
[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="recursion.rs"
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||
[class]{}-[func]{tail_recur}
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```
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=== "C"
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||
```c title="recursion.c"
|
||
[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="recursion.zig"
|
||
[class]{}-[func]{tailRecur}
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```
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两种递归的过程对比如下图所示。
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- **普通递归**：求和操作是在“归”的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。
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- **尾递归**：求和操作是在“递”的过程中执行的，“归”的过程只需层层返回。
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请注意，许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如，Python 默认不支持尾递归优化，因此即使函数是尾递归形式，但仍然可能会遇到栈溢出问题。
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### 递归树
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当处理与“分治”相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以“斐波那契数列”为例。
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!!! question
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给定一个斐波那契数列 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ ，求该数列的第 $n$ 个数字。
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设斐波那契数列的第 $n$ 个数字为 $f(n)$ ，易得两个结论。
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- 数列的前两个数字为 $f(1) = 0$ 和 $f(2) = 1$ 。
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- 数列中的每个数字是前两个数字的和，即 $f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$ 。
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按照递推关系进行递归调用，将前两个数字作为终止条件，便可写出递归代码。调用 `fib(n)` 即可得到斐波那契数列的第 $n$ 个数字。
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=== "Python"
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```python title="recursion.py"
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[class]{}-[func]{fib}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="recursion.cpp"
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||
[class]{}-[func]{fib}
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```
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=== "Java"
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||
```java title="recursion.java"
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||
[class]{recursion}-[func]{fib}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="recursion.cs"
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||
[class]{recursion}-[func]{fib}
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```
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=== "Go"
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```go title="recursion.go"
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||
[class]{}-[func]{fib}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="recursion.swift"
|
||
[class]{}-[func]{fib}
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```
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=== "JS"
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|
||
```javascript title="recursion.js"
|
||
[class]{}-[func]{fib}
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||
```
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|
||
=== "TS"
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|
||
```typescript title="recursion.ts"
|
||
[class]{}-[func]{fib}
|
||
```
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||
|
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=== "Dart"
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|
||
```dart title="recursion.dart"
|
||
[class]{}-[func]{fib}
|
||
```
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=== "Rust"
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|
||
```rust title="recursion.rs"
|
||
[class]{}-[func]{fib}
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```
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=== "C"
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||
```c title="recursion.c"
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||
[class]{}-[func]{fib}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="recursion.zig"
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[class]{}-[func]{fib}
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观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，**这意味着从一个调用产生了两个调用分支**。如下图所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一个层数为 $n$ 的「递归树 recursion tree」。
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本质上看，递归体现“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略是至关重要的。
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- 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维方式。
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- 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分析。
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