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二元樹走訪
從物理結構的角度來看,樹是一種基於鏈結串列的資料結構,因此其走訪方式是透過指標逐個訪問節點。然而,樹是一種非線性資料結構,這使得走訪樹比走訪鏈結串列更加複雜,需要藉助搜尋演算法來實現。
二元樹常見的走訪方式包括層序走訪、前序走訪、中序走訪和後序走訪等。
層序走訪
如下圖所示,層序走訪(level-order traversal)從頂部到底部逐層走訪二元樹,並在每一層按照從左到右的順序訪問節點。
層序走訪本質上屬於廣度優先走訪(breadth-first traversal),也稱廣度優先搜尋(breadth-first search, BFS),它體現了一種“一圈一圈向外擴展”的逐層走訪方式。
程式碼實現
廣度優先走訪通常藉助“佇列”來實現。佇列遵循“先進先出”的規則,而廣度優先走訪則遵循“逐層推進”的規則,兩者背後的思想是一致的。實現程式碼如下:
[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}
複雜度分析
- 時間複雜度為 $O(n)$ :所有節點被訪問一次,使用
O(n)
時間,其中n
為節點數量。 - 空間複雜度為 $O(n)$ :在最差情況下,即滿二元樹時,走訪到最底層之前,佇列中最多同時存在
(n + 1) / 2
個節點,佔用O(n)
空間。
前序、中序、後序走訪
相應地,前序、中序和後序走訪都屬於深度優先走訪(depth-first traversal),也稱深度優先搜尋(depth-first search, DFS),它體現了一種“先走到盡頭,再回溯繼續”的走訪方式。
下圖展示了對二元樹進行深度優先走訪的工作原理。深度優先走訪就像是繞著整棵二元樹的外圍“走”一圈,在每個節點都會遇到三個位置,分別對應前序走訪、中序走訪和後序走訪。
程式碼實現
深度優先搜尋通常基於遞迴實現:
[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}
!!! tip
深度優先搜尋也可以基於迭代實現,有興趣的讀者可以自行研究。
下圖展示了前序走訪二元樹的遞迴過程,其可分為“遞”和“迴”兩個逆向的部分。
- “遞”表示開啟新方法,程式在此過程中訪問下一個節點。
- “迴”表示函式返回,代表當前節點已經訪問完畢。
複雜度分析
- 時間複雜度為 $O(n)$ :所有節點被訪問一次,使用
O(n)
時間。 - 空間複雜度為 $O(n)$ :在最差情況下,即樹退化為鏈結串列時,遞迴深度達到
n
,系統佔用O(n)
堆疊幀空間。