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10.2. 二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还具有许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

10.2.1. 无重复元素的情况

!!! question

给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ，数组不存在重复元素。现将 `target` 插入到数组 `nums` 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ，则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。

图：二分查找插入点示例数据

如果想要复用上节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。

问题一：当数组中包含 target 时，插入点的索引是否是该元素的索引？

题目要求将 target 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说，当数组包含 target 时，插入点的索引就是该 target 的索引。

问题二：当数组中不存在 target 时，插入点是哪个元素的索引？

进一步思考二分查找过程：当 nums[m] < target 时 i 移动，这意味着指针 i 在向大于等于 target 的元素靠近。同理，指针 j 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分结束时一定有：i 指向首个大于 target 的元素，j 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含 target 时，插入索引为 $i$ 。

=== "Java"

```java title="binary_search_insertion.java"
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_insertion.py"
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找插入点（无重复元素）"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到 target ，返回插入点 m
    # 未找到 target ，返回插入点 i
    return i
```

=== "Go"

```go title="binary_search_insertion.go"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_search_insertion.js"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_search_insertion.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "C"

```c title="binary_search_insertion.c"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_insertion.cs"
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_insertion.swift"
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    var i = 0, j = nums.count - 1 // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search_insertion.dart"
/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
    if (nums[m] < target) {
      i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
    } else if (nums[m] > target) {
      j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
    } else {
      return m; // 找到 target ，返回插入点 m
    }
  }
  // 未找到 target ，返回插入点 i
  return i;
}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_search_insertion.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```

10.2.2. 存在重复元素的情况

!!! question

在上一题的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。

假设数组中存在多个 target ，则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引，而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。

题目要求将目标元素插入到最左边，所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过以下两步实现：

执行二分查找，得到任意一个 target 的索引，记为 k 。
从索引 k 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。

图：线性查找重复元素的插入点

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 O(n) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方法效率很低。

现考虑修改二分查找代码。整体流程不变，每轮先计算中点索引 m ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：

当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针 i 和 j 向 target 靠近。
当 nums[m] == target 时，说明小于 target 的元素在区间 [i, m - 1] 中，因此采用 j = m - 1 来缩小区间，从而使指针 j 向小于 target 的元素靠近。

循环完成后，i 指向最左边的 target ，j 指向首个小于 target 的元素，因此索引 i 就是插入点。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

图：二分查找重复元素的插入点的步骤

观察以下代码，判断分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此两者可以合并。

即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为其逻辑更加清晰、可读性更好。