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构建二叉树问题
!!! question
给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。
判断是否为分治问题
原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。
- 问题可以被分解：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
- 子问题是独立的：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- 子问题的解可以合并：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。
如何划分子树
根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢？
根据定义，preorder 和 inorder 都可以被划分为三个部分。
- 前序遍历：
[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]，例如上图的树对应[ 3 | 9 | 2 1 7 ]。 - 中序遍历：
[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ]，例如上图的树对应[ 9 | 3 | 1 2 7 ]。
以上图数据为例，我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果。
- 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
- 查找根节点 3 在
inorder中的索引，利用该索引可将inorder划分为[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]。 - 根据
inorder划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将preorder划分为[ 3 | 9 | 2 1 7 ]。
基于变量描述子树区间
根据以上划分方法，我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。
- 将当前树的根节点在
preorder中的索引记为i。 - 将当前树的根节点在
inorder中的索引记为m。 - 将当前树在
inorder中的索引区间记为[l, r]。
如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引，以及子树在 inorder 中的索引区间。
表 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引
根节点在 preorder 中的索引 |
子树在 inorder 中的索引区间 |
|
|---|---|---|
| 当前树 | i |
[l, r] |
| 左子树 | i + 1 |
[l, m-1] |
| 右子树 | i + 1 + (m - l) |
[m+1, r] |
请注意，右子树根节点索引中的 (m-l) 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。
代码实现
为了提升查询 m 的效率，我们借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射。
[file]{build_tree}-[class]{}-[func]{build_tree}
下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
=== "<9>"
每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如下图所示。
设树的节点数量为 n ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 dfs() ）使用 O(1) 时间。因此总体时间复杂度为 $O(n)$ 。
哈希表存储 inorder 元素到索引的映射，空间复杂度为 O(n) 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 n ，使用 O(n) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 $O(n)$ 。