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* Graph dev * Add the section of Graph Traversal. * Add missing Vertex.java * Add mkdocs.yml * Update numbering * Fix indentation and update array.md
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9.3. 图的遍历
!!! note "图与树的关系"
树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。
9.3.1. 广度优先遍历
广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
算法实现
BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
- 将遍历起始顶点
startVet加入队列，并开启循环； - 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
- 循环
2.，直到所有顶点访问完成后结束。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些结点已被访问。
=== "Java"
```java title="graph_bfs.java"
[class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
```
=== "C++"
```cpp title="graph_bfs.cpp"
```
=== "Python"
```python title="graph_bfs.py"
```
=== "Go"
```go title="graph_bfs.go"
```
=== "JavaScript"
```javascript title="graph_bfs.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="graph_bfs.ts"
```
=== "C"
```c title="graph_bfs.c"
```
=== "C#"
```csharp title="graph_bfs.cs"
```
=== "Swift"
```swift title="graph_bfs.swift"
```
=== "Zig"
```zig title="graph_bfs.zig"
```
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
=== "Step 5"
=== "Step 6"
=== "Step 7"
=== "Step 8"
=== "Step 9"
=== "Step 10"
=== "Step 11"
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，而相同距离的多个顶点的遍历顺序允许任意被打乱。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
复杂度分析
时间复杂度： 所有顶点都会入队、出队一次，使用 O(|V|) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V| + |E|) 时间。
空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 |V| ，使用 O(|V|) 空间。
9.3.2. 深度优先遍历
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
算法实现
这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
=== "Java"
```java title="graph_dfs.java"
[class]{graph_dfs}-[func]{dfs}
[class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
```
=== "C++"
```cpp title="graph_dfs.cpp"
```
=== "Python"
```python title="graph_dfs.py"
```
=== "Go"
```go title="graph_dfs.go"
```
=== "JavaScript"
```javascript title="graph_dfs.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="graph_dfs.ts"
```
=== "C"
```c title="graph_dfs.c"
```
=== "C#"
```csharp title="graph_dfs.cs"
```
=== "Swift"
```swift title="graph_dfs.swift"
```
=== "Zig"
```zig title="graph_dfs.zig"
```
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中
- 直虚线代表向下递推，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
- 曲虚线代表向上回溯，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
=== "Step 5"
=== "Step 6"
=== "Step 7"
=== "Step 8"
=== "Step 9"
=== "Step 10"
=== "Step 11"
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。
复杂度分析
时间复杂度： 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V| + |E|) 时间。
空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 |V| ，递归深度最大为 |V| ，因此使用 O(|V|) 空间。