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11.8.   基数排序

上节介绍的计数排序适用于数据量 n 大但数据范围 m 不大的情况。假设需要排序 n = 10^6 个学号数据，学号是 8 位数字，那么数据范围 m = 10^8 很大，使用计数排序则需要开辟巨大的内存空间，而基数排序则可以避免这种情况。

「基数排序 Radix Sort」主体思路与计数排序一致，也通过统计出现次数实现排序，并在此基础上利用位与位之间的递进关系，依次对每一位执行排序，从而获得排序结果。

11.8.1.   算法流程

以上述的学号数据为例，设数字最低位为第 1 位、最高位为第 8 位，基数排序的流程为：

1. 初始化位数 k = 1 ；
2. 对学号的第 k 位执行「计数排序」，完成后，数据即按照第 k 位从小到大排序；
3. 将 k 自增 1 ，并返回第 2. 步继续迭代，直至排序完所有位后结束；

Fig. 基数排序算法流程

下面来剖析代码实现。对于一个 d 进制的数字 x ，其第 k 位 x_k 的计算公式为

$$ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \mod d

其中 \lfloor a \rfloor 代表对浮点数 a 执行向下取整，\mod d 代表对 d 取余。学号数据的 d = 10 , k \in [1, 8] 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字第 k 位执行排序。

=== "Java"

```java title="radix_sort.java"
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    int[] counter = new int[10];
    int n = nums.length;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int m = Integer.MIN_VALUE;
    for (int num : nums)
        if (num > m) m = num;
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}
```

=== "C++"

```cpp title="radix_sort.cpp"
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int>& nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    vector<int> counter(10, 0);
    int n = nums.size();
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    vector<int> res(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(vector<int>& nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}
```

=== "Python"

```python title="radix_sort.py"
def digit(num: int, exp: int) -> int:
    """ 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) """
    # 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num // exp) % 10

def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int) -> None:
    """ 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） """
    # 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    counter = [0] * 10
    n = len(nums)
    # 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in range(n):
        d = digit(nums[i], exp)  # 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1          # 统计数字 d 的出现次数
    # 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i in range(1, 10):
        counter[i] += counter[i - 1]
    # 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1  # 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]    # 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1     # 将 d 的数量减 1
    # 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]

def radix_sort(nums: list[int]) -> None:
    """ 基数排序 """
    # 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    m = max(nums)
    # 按照从低位到高位的顺序遍历
    exp = 1
    while exp <= m:
        # 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # 即 exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10
```

=== "Go"

```go title="radix_sort.go"
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num, exp int) int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    counter := make([]int, 10)
    n := len(nums)
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i := 0; i < n; i++ {
        d := digit(nums[i], exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++             // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i := 1; i < 10; i++ {
        counter[i] += counter[i-1]
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        d := digit(nums[i], exp)
        j := counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]    // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--        // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i := 0; i < n; i++ {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums []int) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    max := math.MinInt
    for _, num := range nums {
        if num > max {
            max = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp)
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="radix_sort.js"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="radix_sort.ts"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "C"

```c title="radix_sort.c"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "C#"

```csharp title="radix_sort.cs"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}

[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}

[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```

=== "Swift"

```swift title="radix_sort.swift"
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    (num / exp) % 10
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
    let n = nums.count
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in nums.indices {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1 // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i in 1 ..< 10 {
        counter[i] += counter[i - 1]
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    var res = Array(repeating: 0, count: n)
    for i in stride(from: n - 1, through: 0, by: -1) {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
        let j = counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i] // 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1 // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in nums.indices {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums: inout [Int]) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    var m = Int.min
    for num in nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="radix_sort.zig"
// 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)
fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
}

// 计数排序（根据 nums 第 k 位排序）
fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
    // defer mem_arena.deinit();
    const mem_allocator = mem_arena.allocator();
    var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
    std.mem.set(usize, counter, 0);
    var n = nums.len;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (nums) |num| {
        var d = @bitCast(u32, digit(num, exp)); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    var i: usize = 1;
    while (i < 10) : (i += 1) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
    i = n - 1;
    while (i >= 0) : (i -= 1) {
        var d = @bitCast(u32, digit(nums[i], exp));
        var j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1;        // 将 d 的数量减 1
        if (i == 0) break;
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    i = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

// 基数排序
fn radixSort(nums: []i32) !void {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    var m: i32 = std.math.minInt(i32);
    for (nums) |num| {
        if (num > m) m = num;
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    var exp: i32 = 1;
    while (exp <= m) : (exp *= 10) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        try countingSortDigit(nums, exp);    
    }
} 
```

!!! question "为什么从最低位开始排序？"

对于先后两轮排序，第二轮排序可能会覆盖第一轮排序的结果，比如第一轮认为 $a < b$ ，而第二轮认为 $a > b$ ，则第二轮会取代第一轮的结果。由于数字高位比低位的优先级更高，所以要先排序低位再排序高位。

11.8.2.   算法特性

时间复杂度 $O(n k)$ ：设数据量为 n 、数据为 d 进制、最大为 k 位，则对某一位执行计数排序使用 O(n + d) 时间，排序 k 位使用 O((n + d)k) 时间；一般情况下 d 和 k 都比较小，此时时间复杂度近似为 O(n) 。

空间复杂度 $O(n + d)$ ：与计数排序一样，借助了长度分别为 n , d 的数组 res 和 counter ，因此是“非原地排序”。

与计数排序一致，基数排序也是稳定排序。相比于计数排序，基数排序可适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以被表示为固定位数的格式，且位数不能太大。比如浮点数就不适合使用基数排序，因为其位数 k 太大，可能时间复杂度 O(nk) \gg O(n^2) 。