hello-algo/docs/chapter_tree/binary_tree.md

---
comments: true
---

# 二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着 “一分为二” 的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。

=== "Java"

    ```java title=""
    /* 链表结点类 */
    class TreeNode {
        int val;         // 结点值
        TreeNode left;   // 左子结点指针
        TreeNode right;  // 右子结点指针
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    /* 链表结点结构体 */
    struct TreeNode {
        int val;          // 结点值
        TreeNode *left;   // 左子结点指针
        TreeNode *right;  // 右子结点指针
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title=""
    """ 链表结点类 """
    class TreeNode:
        def __init__(self, val=None, left=None, right=None):
            self.val = val      # 结点值
            self.left = left    # 左子结点指针
            self.right = right  # 右子结点指针

        def __str__(self):
            val = self.val
            left_node_val = self.left.val if self.left else None
            right_node_val = self.right.val if self.right else None
            return "<TreeNode: {}, leftTreeNode: {}, rightTreeNode: {}>".format(val, left_node_val, right_node_val)

    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    """ 链表结点类 """
    type TreeNode struct {
        Val   int
        Left  *TreeNode
        Right *TreeNode
    }
    """ 结点初始化方法 """
    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
        return &TreeNode{
            Left:  nil,
            Right: nil,
            Val:   v,
        }
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title=""
    /* 链表结点类 */
    function TreeNode(val, left, right) {
        this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
        this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
        this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title=""
    /* 链表结点类 */
    class TreeNode {
        val: number;
        left: TreeNode | null;
        right: TreeNode | null;

        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title=""

    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""

    ```

结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。

![binary_tree_definition](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)

<p align="center"> Fig. 子结点与子树 </p>

需要注意，父结点、子结点、子树是可以向下递推的。例如，如果将上图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 以下的树」和「结点 5 以下的树」。

## 二叉树常见术语

二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。

- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
- 结点所处「层 Level」：从顶置底依次增加，根结点所处层为 1 ；
- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量，二叉树中度的范围是 0, 1, 2 ；
- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；

![binary_tree_terminology](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)

<p align="center"> Fig. 二叉树的常见术语 </p>

!!! tip "高度与深度的定义"

    值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。

## 二叉树最佳和最差结构

当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。

![binary_tree_corner_cases](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)

<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳和最差结构 </p>

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。

<div class="center-table" markdown>

|                               | 完美二叉树 | 链表         |
| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
| 第 $i$ 层的结点数量    | $2^{i-1}$          | $1$     |
| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$          | $1$     |
| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$     |
| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$     |

</div>

## 二叉树基本操作

**初始化二叉树。** 与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    // 初始化结点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    # 初始化二叉树
    # 初始化节点
    n1 = TreeNode(val=1)
    n2 = TreeNode(val=2)
    n3 = TreeNode(val=3)
    n4 = TreeNode(val=4)
    n5 = TreeNode(val=5)
    # 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    n1 := NewTreeNode(1)
    n2 := NewTreeNode(2)
    n3 := NewTreeNode(3)
    n4 := NewTreeNode(4)
    n5 := NewTreeNode(5)
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.Left = n2
    n1.Right = n3
    n2.Left = n4
    n2.Right = n5
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_tree.js"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"

    ```

**插入与删除结点。** 与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。

![binary_tree_add_remove](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)

<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 插入与删除结点 */
    TreeNode* P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除结点 P
    n1->left = n2;
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    # 插入与删除结点
    p = TreeNode(0)
    # 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = p
    p.left = n2
    # 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 插入与删除结点 */
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    p := NewTreeNode(0)
    n1.Left = p
    p.Left = n2
    // 删除结点 P
    n1.Left = n2
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_tree.js"
    /* 插入与删除结点 */
    let P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 插入与删除结点 */
    const P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"

    ```

!!! note

    插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。

## 二叉树遍历

非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。

### 层序遍历

「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。

层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种 “一圈一圈向外” 的层进遍历方式。

![binary_tree_bfs](binary_tree.assets/binary_tree_bfs.png)

<p align="center"> Fig. 二叉树的层序遍历 </p>

广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是 “先进先出” ，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。

=== "Java"

    ```java title="binary_tree_bfs.java"
    /* 层序遍历 */
    List<Integer> hierOrder(TreeNode root) {
        // 初始化队列，加入根结点
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode node = queue.poll();  // 队列出队
            list.add(node.val);            // 保存结点值
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left);    // 左子结点入队
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right);   // 右子结点入队
        }
        return list;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
    /* 层序遍历 */
    vector<int> hierOrder(TreeNode* root) {
        // 初始化队列，加入根结点
        queue<TreeNode*> queue;
        queue.push(root);
        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
        vector<int> vec;
        while (!queue.empty()) {
            TreeNode* node = queue.front();
            queue.pop();  // 队列出队
            vec.push_back(node->val);            // 保存结点
            if (node->left != nullptr)
                queue.push(node->left);    // 左子结点入队
            if (node->right != nullptr)
                queue.push(node->right);   // 右子结点入队
        }
        return vec;
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree_bfs.py"
    """ 层序遍历 """
    def hier_order(root):
        # 初始化队列，加入根结点
        queue = collections.deque()
        queue.append(root)
        # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
        result = []
        while queue:
            # 队列出队
            node = queue.popleft()
            # 保存节点值
            result.append(node.val)
            if node.left is not None:
                # 左子结点入队
                queue.append(node.left)
            if node.right is not None:
                # 右子结点入队
                queue.append(node.right)
        return result
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree_bfs.go"
    /* 层序遍历 */
    func levelOrder(root *TreeNode) []int {
        // 初始化队列，加入根结点
        queue := list.New()
        queue.PushBack(root)
        // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
        nums := make([]int, 0)
        for queue.Len() > 0 {
            // poll
            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
            // 保存结点
            nums = append(nums, node.Val)
            if node.Left != nil {
                // 左子结点入队
                queue.PushBack(node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                // 右子结点入队
                queue.PushBack(node.Right)
            }
        }
        return nums
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_tree_bfs.js"
    /* 层序遍历 */
    function hierOrder(root) {
        // 初始化队列，加入根结点
        let queue = [root];
        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
        let list = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift();  // 队列出队
            list.push(node.val);          // 保存结点
            if (node.left)
                queue.push(node.left);    // 左子结点入队
            if (node.right)
                queue.push(node.right);   // 右子结点入队
        }
        return list;
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
    /* 层序遍历 */
    function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] {
        // 初始化队列，加入根结点
        const queue = [root];
        // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
        const list: number[] = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
            list.push(node.val); // 保存结点
            if (node.left) {
                queue.push(node.left); // 左子结点入队
            }
            if (node.right) {
                queue.push(node.right); // 右子结点入队
            }
        }
        return list;
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree_bfs.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree_bfs.cs"

    ```

### 前序、中序、后序遍历

相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种 “先走到尽头，再回头继续” 的回溯遍历方式。

如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围 “走” 一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。

![binary_tree_dfs](binary_tree.assets/binary_tree_dfs.png)

<p align="center"> Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历 </p>

<div class="center-table" markdown>

| 位置       | 含义                                 | 此处访问结点时对应            |
| ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- |
| 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal  |
| 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树       | 中序遍历 In-Order Traversal   |
| 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回     | 后序遍历 Post-Order Traversal |

</div>

=== "Java"

    ```java title="binary_tree_dfs.java"
    /* 前序遍历 */
    void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
        list.add(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
    
    /* 中序遍历 */
    void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
        inOrder(root.left);
        list.add(root.val);
        inOrder(root.right);
    }
    
    /* 后序遍历 */
    void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.add(root.val);
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp"
    /* 前序遍历 */
    void preOrder(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return;
        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
        vec.push_back(root->val);
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }

    /* 中序遍历 */
    void inOrder(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return;
        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
        inOrder(root->left);
        vec.push_back(root->val);
        inOrder(root->right);
    }

    /* 后序遍历 */
    void postOrder(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return;
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
        postOrder(root->left);
        postOrder(root->right);
        vec.push_back(root->val);
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree_dfs.py"
    """ 前序遍历二叉树 """
    def pre_order(root: typing.Optional[TreeNode]):
        if root is None:
            return

        # 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
        result.append(root.val)
        pre_order(root=root.left)
        pre_order(root=root.right)


    """ 中序遍历二叉树 """
    def in_order(root: typing.Optional[TreeNode]):
        if root is None:
            return

        # 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
        in_order(root=root.left)
        result.append(root.val)
        in_order(root=root.right)


    """ 后序遍历二叉树 """
    def post_order(root: typing.Optional[TreeNode]):
        if root is None:
            return

        # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
        post_order(root=root.left)
        post_order(root=root.right)
        result.append(root.val)
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree_dfs.go"
    /* 前序遍历 */
    func preOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
        nums = append(nums, node.Val)
        preOrder(node.Left)
        preOrder(node.Right)
    }

    /* 中序遍历 */
    func inOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
        inOrder(node.Left)
        nums = append(nums, node.Val)
        inOrder(node.Right)
    }

    /* 后序遍历 */
    func postOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
        postOrder(node.Left)
        postOrder(node.Right)
        nums = append(nums, node.Val)
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_tree_dfs.js"
    /* 前序遍历 */
    function preOrder(root){
        if (root === null) return;
        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中序遍历 */
    function inOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 后序遍历 */
    function postOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree_dfs.ts"
    /* 前序遍历 */
    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中序遍历 */
    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 后序遍历 */
    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree_dfs.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree_dfs.cs"

    ```

!!! note

    使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。