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true

7.4. AVL 树 *

在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 O(\log n) 劣化至 O(n) 。

如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。

再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。

G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 O(\log n) 级别。

换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。

7.4.1. AVL 树常见术语

「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。

结点高度

在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 height 变量。

=== "Java"

```java title=""
/* AVL 树结点类 */
class TreeNode {
    public int val; // 结点值
    public int height; // 结点高度
    public TreeNode left; // 左子结点
    public TreeNode right; // 右子结点
    public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* AVL 树结点类 */
struct TreeNode {
    int val{};              // 结点值
    int height = 0;         // 结点高度
    TreeNode *left{};       // 左子结点
    TreeNode *right{};      // 右子结点
    TreeNode() = default;
    explicit TreeNode(int x) : val(x){}
};
```

=== "Python"

```python title=""
""" AVL 树结点类 """
class TreeNode:
    def __init__(self, val=None, left=None, right=None):
        self.val = val      # 结点值
        self.height = 0     # 结点高度
        self.left = left    # 左子结点引用
        self.right = right  # 右子结点引用
```

=== "Go"

```go title=""
/* AVL 树结点类 */
type TreeNode struct {
    Val    int       // 结点值
    Height int       // 结点高度
    Left   *TreeNode // 左子结点引用
    Right  *TreeNode // 右子结点引用
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
class TreeNode {
    val; // 结点值
    height; //结点高度
    left; // 左子结点指针
    right; // 右子结点指针
    constructor(val, left, right, height) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val;
        this.height = height === undefined ? 0 : height;
        this.left = left === undefined ? null : left;
        this.right = right === undefined ? null : right;
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
class TreeNode {
    val: number;            // 结点值
    height: number;         // 结点高度
    left: TreeNode | null;  // 左子结点指针
    right: TreeNode | null; // 右子结点指针
    constructor(val?: number, height?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val;
        this.height = height === undefined ? 0 : height; 
        this.left = left === undefined ? null : left; 
        this.right = right === undefined ? null : right; 
    }
}
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""
/* AVL 树结点类 */
class TreeNode {
    public int val;          // 结点值
    public int height;       // 结点高度
    public TreeNode? left;   // 左子结点
    public TreeNode? right;  // 右子结点
    public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* AVL 树结点类 */
class TreeNode {
    var val: Int // 结点值
    var height: Int // 结点高度
    var left: TreeNode? // 左子结点
    var right: TreeNode? // 右子结点

    init(x: Int) {
        val = x
        height = 0
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{__update_height}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{height}

[class]{aVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{height}

[class]{aVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{height}

[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
```

结点平衡因子

结点的「平衡因子 Balance Factor」是 结点的左子树高度减去右子树高度，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{balance_factor}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
```

!!! note

设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。

7.4.2. AVL 树旋转

AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。

我们将平衡因子的绝对值 > 1 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。

Case 1 - 右旋

如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 结点 3。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 node ，将其左子结点记为 child ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

进而，如果结点 child 本身有右子结点（记为 grandChild ），则需要在「右旋」中添加一步：将 grandChild 作为 node 的左子结点。

“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{__right_rotate}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```

Case 2 - 左旋

类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。

同理，若结点 child 本身有左子结点（记为 grandChild ），则需要在「左旋」中添加一步：将 grandChild 作为 node 的右子结点。

观察发现，「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 left 替换为 right 、所有的 right 替换为 left ，即可得到「左旋」代码。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{__left_rotate}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```

Case 3 - 先左后右

对于下图的失衡结点 3 ，单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 child 执行「左旋」，再对 node 执行「右旋」。

Case 4 - 先右后左

同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 child 执行「右旋」，然后对 node 执行「左旋」。

旋转的选择

下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 右旋、左旋、先右后左、先左后右 的旋转操作。

具体地，在代码中使用 失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。

失衡结点的平衡因子	子结点的平衡因子	应采用的旋转方法
`>0` （即左偏树）	`\geq 0`	右旋
`>0` （即左偏树）	`<0`	先左旋后右旋
`<0` （即右偏树）	`\leq 0`	左旋
`<0` （即右偏树）	`>0`	先右旋后左旋

为方便使用，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况，使失衡结点重新恢复平衡。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{__rotate}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
```

7.4.3. AVL 树常用操作

插入结点

「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以，我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{__insert_helper}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{insert}

[class]{aVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{insert}

[class]{aVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{insert}

[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
```

删除结点

「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡。

=== "Java"

```java title="avl_tree.java"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C++"

```cpp title="avl_tree.cpp"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Python"

```python title="avl_tree.py"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{__remove_helper}

[class]{AVLTree}-[func]{__get_inorder_next}
```

=== "Go"

```go title="avl_tree.go"
[class]{aVLTree}-[func]{remove}

[class]{aVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{aVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="avl_tree.js"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="avl_tree.ts"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C"

```c title="avl_tree.c"
[class]{aVLTree}-[func]{remove}

[class]{aVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{aVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C#"

```csharp title="avl_tree.cs"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Swift"

```swift title="avl_tree.swift"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Zig"

```zig title="avl_tree.zig"
[class]{AVLTree}-[func]{remove}

[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}

[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
```

查找结点

「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。

7.4.4. AVL 树典型应用

组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
用于建立数据库中的索引系统；

!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"

红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。

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7.4. AVL 树 *

7.4.1. AVL 树常见术语

结点高度

结点平衡因子

7.4.2. AVL 树旋转

Case 1 - 右旋

Case 2 - 左旋

Case 3 - 先左后右

Case 4 - 先右后左

旋转的选择

7.4.3. AVL 树常用操作

插入结点

删除结点

查找结点

7.4.4. AVL 树典型应用

18 KiB

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