8 KiB
全排列问题
全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。
如下表所示，列举了几个示例数组和其对应的所有排列。
| 输入数组 | 所有排列 |
|---|---|
[1] |
[1] |
[1, 2] |
[1, 2], [2, 1] |
[1, 2, 3] |
[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
无重复的情况
!!! question "输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。"
从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1, 2, 3] ，如果我们先选择 1 、再选择 3 、最后选择 2 ，则获得排列 [1, 3, 2] 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
从回溯算法代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素。
如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 backtrack() 函数中。
=== "Java"
```java title="permutations_i.java"
[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}
[class]{permutations_i}-[func]{permutationsI}
```
=== "C++"
```cpp title="permutations_i.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "Python"
```python title="permutations_i.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutations_i}
```
=== "Go"
```go title="permutations_i.go"
[class]{}-[func]{backtrackI}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="permutations_i.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="permutations_i.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "C"
```c title="permutations_i.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "C#"
```csharp title="permutations_i.cs"
[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}
[class]{permutations_i}-[func]{permutationsI}
```
=== "Swift"
```swift title="permutations_i.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "Zig"
```zig title="permutations_i.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 selected ，它的长度与输入数组长度相等，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择。我们利用 selected 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 O(n^n) 降低至 $O(n!)$ 。
考虑重复的情况
!!! question "输入一个整数数组，数组中可能包含重复元素，返回所有不重复的排列。"
假设输入数组为 [1, 1, 2] 。为了方便区分两个重复的元素 1 ，接下来我们将第二个元素记为 \hat{1} 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。
观察发现，在第一轮中，选择 1 或选择 \hat{1} 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 \hat{1} 剪枝掉。同理，在第一轮选择 2 后，第二轮选择中的 1 和 \hat{1} 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 \hat{1} 剪枝。
本质上看，我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。
=== "Java"
```java title="permutations_ii.java"
[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}
[class]{permutations_ii}-[func]{permutationsII}
```
=== "C++"
```cpp title="permutations_ii.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "Python"
```python title="permutations_ii.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutations_ii}
```
=== "Go"
```go title="permutations_ii.go"
[class]{}-[func]{backtrackII}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="permutations_ii.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="permutations_ii.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "C"
```c title="permutations_ii.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "C#"
```csharp title="permutations_ii.cs"
[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}
[class]{permutations_ii}-[func]{permutationsII}
```
=== "Swift"
```swift title="permutations_ii.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "Zig"
```zig title="permutations_ii.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
注意，虽然 selected 和 duplicated 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：
- 剪枝条件一：整个搜索过程中只有一个
selected。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在state中重复出现。 - 剪枝条件二：每轮选择（即每个开启的
backtrack函数）都包含一个duplicated。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次，以避免产生重复的搜索分支。
下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
复杂度分析
假设元素两两之间互不相同，则 n 个元素共有 n! 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 n 的列表，使用 O(n) 时间。因此，时间复杂度为 $O(n!n)$ 。
最大递归深度为 n ，使用 O(n) 栈帧空间。selected 使用 O(n) 空间。同一时刻最多共有 n 个 duplicated ，使用 O(n^2) 空间。因此，全排列 I 的空间复杂度为 O(n) ，全排列 II 的空间复杂度为 $O(n^2)$ 。