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8.1. 堆

「堆 Heap」是一颗限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：

• 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 \geq 其子结点的值；
• 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 \leq 其子结点的值；

8.1.1. 堆术语与性质

• 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
• 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。
• 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。

8.1.2. 堆常用操作

值得说明的是，多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，其是一种抽象数据结构，定义为具有出队优先级的队列。

而恰好，堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合，大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看，我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此，本文与代码对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。

堆的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。

Table. 堆的常用操作

方法	描述	时间复杂度
add()	元素入堆	O(\log n)
poll()	堆顶元素出堆	O(\log n)
peek()	访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	O(1)
size()	获取堆的元素数量	O(1)
isEmpty()	判断堆是否为空	O(1)

我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

!!! tip

类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。

=== "Java"

```java title="heap.java"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });

/* 元素入堆 */
maxHeap.add(1);
maxHeap.add(3);
maxHeap.add(2);
maxHeap.add(5);
maxHeap.add(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = heap.poll();  // 5
peek = heap.poll();  // 4
peek = heap.poll();  // 3
peek = heap.poll();  // 2
peek = heap.poll();  // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
```

=== "C++"

```cpp title="heap.cpp"

```

=== "Python"

```python title="heap.py"

```

=== "Go"

```go title="heap.go"
// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any

// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
    // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
    // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
    *h = append(*h, x.(int))
}

// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
    // 待出堆元素存放在最后
    last := (*h)[len(*h)-1]
    *h = (*h)[:len(*h)-1]
    return last
}

// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
    return len(*h)
}

// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
    // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
    return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}

// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
    (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}

// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
    return (*h)[0]
}

/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
    /* 初始化堆 */
    // 初始化大顶堆
    maxHeap := &intHeap{}
    heap.Init(maxHeap)
    /* 元素入堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
    heap.Push(maxHeap, 1)
    heap.Push(maxHeap, 3)
    heap.Push(maxHeap, 2)
    heap.Push(maxHeap, 4)
    heap.Push(maxHeap, 5)

    /* 获取堆顶元素 */
    top := maxHeap.Top()
    fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)

    /* 堆顶元素出堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
    heap.Pop(maxHeap)
    heap.Pop(maxHeap)
    heap.Pop(maxHeap)
    heap.Pop(maxHeap)
    heap.Pop(maxHeap)

    /* 获取堆大小 */
    size := len(*maxHeap)
    fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)

    /* 判断堆是否为空 */
    isEmpty := len(*maxHeap) == 0
    fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}
```

=== "JavaScript"

```js title="heap.js"

```

=== "TypeScript"

```typescript title="heap.ts"

```

=== "C"

```c title="heap.c"

```

=== "C#"

```csharp title="heap.cs"

```

=== "Swift"

```swift title="heap.swift"
// Swift 未提供内置 heap 类
```

=== "Zig"

```zig title="heap.zig"

```

8.1.3. 堆的实现

下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 \geq 替换为 \leq ）即可，有兴趣的同学可自行实现。

堆的存储与表示

在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，因而我们采用「数组」来存储「堆」。

二叉树指针。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，而结点指针通过索引映射公式来实现。

具体地，给定索引 i ，那么其左子结点索引为 2i + 1 、右子结点索引为 2i + 2 、父结点索引为 (i - 1) / 2 （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。

我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
// 使用列表而非数组，这样无需考虑扩容问题
List<Integer> maxHeap;

/* 构造函数，建立空堆 */
public MaxHeap() {
    maxHeap = new ArrayList<>();
}

/* 获取左子结点索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子结点索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父结点索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"

```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"

```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
type maxHeap struct {
    // 使用切片而非数组，这样无需考虑扩容问题
    data []any
}

/* 构造函数，建立空堆 */
func newHeap() *maxHeap {
    return &maxHeap{
        data: make([]any, 0),
    }
}

/* 获取左子结点索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
    return 2*i + 1
}

/* 获取右子结点索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
    return 2*i + 2
}

/* 获取父结点索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
    // 向下整除
    return (i - 1) / 2
}
```

=== "JavaScript"

```js title="my_heap.js"

```

=== "TypeScript"

```typescript title="my_heap.ts"

```

=== "C"

```c title="my_heap.c"

```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"

```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
var maxHeap: [Int]

/* 构造函数，建立空堆 */
init() {
    maxHeap = []
}

/* 获取左子结点索引 */
func left(i: Int) -> Int {
    2 * i + 1
}

/* 获取右子结点索引 */
func right(i: Int) -> Int {
    2 * i + 2
}

/* 获取父结点索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
    (i - 1) / 2 // 向下整除
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"

```

访问堆顶元素

堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 访问堆顶元素 */
public int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"

```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"

```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 访问堆顶元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {
    return h.data[0]
}
```

=== "JavaScript"

```js title="my_heap.js"

```

=== "TypeScript"

```typescript title="my_heap.ts"

```

=== "C"

```c title="my_heap.c"

```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"

```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 访问堆顶元素 */
func peek() -> Int {
    maxHeap[0]
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"

```

元素入堆

给定元素 val ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 val 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点，该操作被称为「堆化 Heapify」。

考虑从入堆结点开始，从底至顶执行堆化。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

=== "Step 5"

=== "Step 6"

设结点总数为 n ，则树的高度为 O(\log n) ，易得堆化操作的循环轮数最多为 O(\log n) ，因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加结点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取结点 i 的父结点
        int p = parent(i);
        // 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两结点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"

```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"

```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
    // 添加结点
    h.data = append(h.data, val)
    // 从底至顶堆化
    h.siftUp(len(h.data) - 1)
}

/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
    for true {
        // 获取结点 i 的父结点
        p := h.parent(i)
        // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
        if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
            break
        }
        // 交换两结点
        h.swap(i, p)
        // 循环向上堆化
        i = p
    }
}
```

=== "JavaScript"

```js title="my_heap.js"

```

=== "TypeScript"

```typescript title="my_heap.ts"

```

=== "C"

```c title="my_heap.c"

```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"

```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 元素入堆 */
func push(val: Int) {
    // 添加结点
    maxHeap.append(val)
    // 从底至顶堆化
    siftUp(i: size() - 1)
}

/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
func siftUp(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 获取结点 i 的父结点
        let p = parent(i: i)
        // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
        if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
            break
        }
        // 交换两结点
        swap(i: i, j: p)
        // 循环向上堆化
        i = p
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"

```

堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：

1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）；
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
3. 从根结点开始，从顶至底执行堆化；

顾名思义，从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

=== "Step 5"

=== "Step 6"

=== "Step 7"

=== "Step 8"

=== "Step 9"

=== "Step 10"

与元素入堆操作类似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 元素出堆 */
int poll() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new EmptyStackException();
    // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除结点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
        if (ma == i) break;
        // 交换两结点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"

```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"

```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) poll() any {
    // 判空处理
    if h.isEmpty() {
        fmt.Println("error")
        return nil
    }
    // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
    h.swap(0, h.size()-1)
    // 删除结点
    val := h.data[len(h.data)-1]
    h.data = h.data[:len(h.data)-1]
    // 从顶至底堆化
    h.siftDown(0)

    // 返回堆顶元素
    return val
}

/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
    for true {
        // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 max
        l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
        if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
            max = l
        }
        if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
            max = r
        }
        // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
        if max == i {
            break
        }
        // 交换两结点
        h.swap(i, max)
        // 循环向下堆化
        i = max
    }
}
```

=== "JavaScript"

```js title="my_heap.js"

```

=== "TypeScript"

```typescript title="my_heap.ts"

```

=== "C"

```c title="my_heap.c"

```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"

```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 元素出堆 */
func poll() -> Int {
    // 判空处理
    if isEmpty() {
        fatalError("堆为空")
    }
    // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
    swap(i: 0, j: size() - 1)
    // 删除结点
    let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
    // 从顶至底堆化
    siftDown(i: 0)
    // 返回堆顶元素
    return val
}

/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(i: Int) {
    var i = i
    while true {
        // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
        let l = left(i: i)
        let r = right(i: i)
        var ma = i
        if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
            ma = l
        }
        if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
            ma = r
        }
        // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
        if ma == i {
            break
        }
        // 交换两结点
        swap(i: i, j: ma)
        // 循环向下堆化
        i = ma
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"

```

输入数据并建堆 *

如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆，那么该怎么做呢？最直接地，考虑使用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 O(n) ，而平均长度为 \frac{n}{2} ，因此该方法的总体时间复杂度为 O(n \log n) 。

然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 n ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」。当然，无需对叶结点执行堆化，因为其没有子结点。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
public MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"

```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"

```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}
```

=== "JavaScript"

```js title="my_heap.js"

```

=== "TypeScript"

```typescript title="my_heap.ts"

```

=== "C"

```c title="my_heap.c"

```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"

```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
        siftDown(i: i)
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"

```

那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。

• 完全二叉树中，设结点总数为 n ，则叶结点数量为 (n + 1) / 2 ，其中 / 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 (n - 1)/2 ，即为 O(n) ；
• 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 O(\log n) ；

将上述两者相乘，可得时间复杂度为 O(n \log n) 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 二叉树底层结点远多于顶层结点 的性质。

下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 n ，树高度为 h 。上文提到，结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”。因此，我们将各层的“结点数量 \times 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。

$$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 T(h) 乘以 2 ，易得

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned}

使用错位相减法，令下式 2 T(h) 减去上式 T(h) ，可得

$$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h

观察上式，T(h) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h \newline & = O(2^h) \end{aligned}

进一步地，高度为 h 的完美二叉树的结点数量为 n = 2^{h+1} - 1 ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 O(n) ，非常高效。

8.1.4. 堆常见应用

• 优先队列。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 O(\log n) ，建队操作为 O(n) ，皆非常高效。
• 堆排序。给定一组数据，我们使用其建堆，并依次全部弹出，则可以得到有序的序列。当然，堆排序一般无需弹出元素，仅需每轮将堆顶元素交换至数组尾部并减小堆的长度即可。
• 获取最大的 k 个元素。这既是一道经典算法题目，也是一种常见应用，例如选取热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取前 10 销量的商品等。