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归并排序

「归并排序 Merge Sort」基于分治思想实现排序，包含“划分”和“合并”两个阶段：

1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题；
2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束；

算法流程

“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组，直至长度为 1 ；

1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）；
2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

观察发现，归并排序的递归顺序与二叉树的后序遍历相同，具体来看：

• 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
• 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

=== "Java"

```java title="merge_sort.java"
[class]{merge_sort}-[func]{merge}

[class]{merge_sort}-[func]{mergeSort}
```

=== "C++"

```cpp title="merge_sort.cpp"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "Python"

```python title="merge_sort.py"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{merge_sort}
```

=== "Go"

```go title="merge_sort.go"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="merge_sort.js"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="merge_sort.ts"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "C"

```c title="merge_sort.c"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "C#"

```csharp title="merge_sort.cs"
[class]{merge_sort}-[func]{merge}

[class]{merge_sort}-[func]{mergeSort}
```

=== "Swift"

```swift title="merge_sort.swift"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "Zig"

```zig title="merge_sort.zig"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

合并方法 merge() 代码中的难点包括：

• 在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义。nums 的待合并区间为 [left, right] ，但由于 tmp 仅复制了 nums 该区间的元素，因此 tmp 对应区间为 [0, right - left] 。
• 在比较 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小时，还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题，即 i > leftEnd 和 j > rightEnd 的情况。索引越界的优先级是最高的，如果左子数组已经被合并完了，那么不需要继续比较，直接合并右子数组元素即可。

算法特性

时间复杂度 $O(n \log n)$ ：划分产生高度为 \log n 的递归树，每层合并的总操作数量为 n ，因此总体时间复杂度为 O(n \log n) 。

空间复杂度 $O(n)$ ：递归深度为 \log n ，使用 O(\log n) 大小的栈帧空间；合并操作需要借助辅助数组实现，使用 O(n) 大小的额外空间；因此是“非原地排序”。

在合并过程中，相等元素的次序保持不变，因此归并排序是“稳定排序”。

链表排序 *

归并排序在排序链表时具有显著优势，空间复杂度可以优化至 O(1) ，原因如下：

• 由于链表仅需改变指针就可实现节点的增删操作，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无需创建辅助链表。
• 通过使用“迭代划分”替代“递归划分”，可省去递归使用的栈帧空间；

具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。