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Yudong Jin 71074d88f6
Add the section of binary search insertion. (#671)
Refactor the section of binary search edge.
Finetune the figures of binary search.
2023-08-04 05:16:56 +08:00

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二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素,还具有许多变种问题,比如搜索目标元素的插入位置。

无重复元素的情况

!!! question

给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ,数组不存在重复元素。现将 `target` 插入到数组 `nums` 中,并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ,则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。

二分查找插入点示例数据

如果想要复用上节的二分查找代码,则需要回答以下两个问题。

问题一:当数组中包含 target 时,插入点的索引是否是该元素的索引?

题目要求将 target 插入到相等元素的左边,这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说,当数组包含 target 时,插入点的索引就是该 target 的索引

问题二:当数组中不存在 target 时,插入点是哪个元素的索引?

进一步思考二分查找过程:当 nums[m] < targeti 移动,这意味着指针 i 在向大于等于 target 的元素靠近。同理,指针 j 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分结束时一定有:i 指向首个大于 target 的元素,j 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含 target 时,插入索引为 $i$

=== "Java"

```java title="binary_search_insertion.java"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_insertion.py"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_insertion.go"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_search_insertion.js"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_search_insertion.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "C"

```c title="binary_search_insertion.c"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_insertion.cs"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_insertion.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search_insertion.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_search_insertion.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```

存在重复元素的情况

!!! question

在上一题的基础上,规定数组可能包含重复元素,其余不变。

假设数组中存在多个 target ,则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引,而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target

题目要求将目标元素插入到最左边,所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过以下两步实现:

  1. 执行二分查找,得到任意一个 target 的索引,记为 k
  2. 从索引 k 开始,向左进行线性遍历,当找到最左边的 target 时返回。

线性查找重复元素的插入点

此方法虽然可用,但其包含线性查找,因此时间复杂度为 O(n) 。当数组中存在很多重复的 target 时,该方法效率很低。

现考虑修改二分查找代码。整体流程不变,每轮先计算中点索引 m ,再判断 targetnums[m] 大小关系:

  1. nums[m] < targetnums[m] > target 时,说明还没有找到 target ,因此采用普通二分查找的缩小区间操作,从而使指针 ijtarget 靠近
  2. nums[m] == target 时,说明小于 target 的元素在区间 [i, m - 1] 中,因此采用 j = m - 1 来缩小区间,从而使指针 j 向小于 target 的元素靠近

循环完成后,i 指向最左边的 target j 指向首个小于 target 的元素,因此索引 i 就是插入点

=== "<1>" 二分查找重复元素的插入点的步骤

=== "<2>" binary_search_insertion_step2

=== "<3>" binary_search_insertion_step3

=== "<4>" binary_search_insertion_step4

=== "<5>" binary_search_insertion_step5

=== "<6>" binary_search_insertion_step6

=== "<7>" binary_search_insertion_step7

=== "<8>" binary_search_insertion_step8

观察以下代码,判断分支 nums[m] > targetnums[m] == target 的操作相同,因此两者可以合并。

即便如此,我们仍然可以将判断条件保持展开,因为其逻辑更加清晰、可读性更好。

=== "Java"

```java title="binary_search_insertion.java"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_insertion.py"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_insertion.go"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_search_insertion.js"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_search_insertion.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "C"

```c title="binary_search_insertion.c"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_insertion.cs"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_insertion.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search_insertion.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_search_insertion.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```

!!! tip

本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。

总的来看,二分查找无非就是给指针 i , j 分别设定搜索目标,目标可能是一个具体的元素(例如 target ),也可能是一个元素范围(例如小于 target 的元素)。

在不断的循环二分中,指针 i , j 都逐渐逼近预先设定的目标。最终,它们或是成功找到答案,或是越过边界后停止。