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二分搜尋插入點

二分搜尋不僅可用於搜尋目標元素，還可用於解決許多變種問題，比如搜尋目標元素的插入位置。

無重複元素的情況

!!! question

給定一個長度為 $n$ 的有序陣列 `nums` 和一個元素 `target` ，陣列不存在重複元素。現將 `target` 插入陣列 `nums` 中，並保持其有序性。若陣列中已存在元素 `target` ，則插入到其左方。請返回插入後 `target` 在陣列中的索引。示例如下圖所示。

如果想複用上一節的二分搜尋程式碼，則需要回答以下兩個問題。

問題一：當陣列中包含 target 時，插入點的索引是否是該元素的索引？

題目要求將 target 插入到相等元素的左邊，這意味著新插入的 target 替換了原來 target 的位置。也就是說，當陣列包含 target 時，插入點的索引就是該 target 的索引。

問題二：當陣列中不存在 target 時，插入點是哪個元素的索引？

進一步思考二分搜尋過程：當 nums[m] < target 時 i 移動，這意味著指標 i 在向大於等於 target 的元素靠近。同理，指標 j 始終在向小於等於 target 的元素靠近。

因此二分結束時一定有：i 指向首個大於 target 的元素，j 指向首個小於 target 的元素。易得當陣列不包含 target 時，插入索引為 $i$ 。程式碼如下所示：

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}

存在重複元素的情況

!!! question

在上一題的基礎上，規定陣列可能包含重複元素，其餘不變。

假設陣列中存在多個 target ，則普通二分搜尋只能返回其中一個 target 的索引，而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少 target。

題目要求將目標元素插入到最左邊，所以我們需要查詢陣列中最左一個 target 的索引。初步考慮透過下圖所示的步驟實現。

1. 執行二分搜尋，得到任意一個 target 的索引，記為 k 。
2. 從索引 k 開始，向左進行線性走訪，當找到最左邊的 target 時返回。

此方法雖然可用，但其包含線性查詢，因此時間複雜度為 O(n) 。當陣列中存在很多重複的 target 時，該方法效率很低。

現考慮拓展二分搜尋程式碼。如下圖所示，整體流程保持不變，每輪先計算中點索引 m ，再判斷 target 和 nums[m] 的大小關係，分為以下幾種情況。

• 當 nums[m] < target 或 nums[m] > target 時，說明還沒有找到 target ，因此採用普通二分搜尋的縮小區間操作，從而使指標 i 和 j 向 target 靠近。
• 當 nums[m] == target 時，說明小於 target 的元素在區間 [i, m - 1] 中，因此採用 j = m - 1 來縮小區間，從而使指標 j 向小於 target 的元素靠近。

迴圈完成後，i 指向最左邊的 target ，j 指向首個小於 target 的元素，因此索引 i 就是插入點。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

觀察以下程式碼，判斷分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此兩者可以合併。

即便如此，我們仍然可以將判斷條件保持展開，因為其邏輯更加清晰、可讀性更好。

[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion}

!!! tip

本節的程式碼都是“雙閉區間”寫法。有興趣的讀者可以自行實現“左閉右開”寫法。

總的來看，二分搜尋無非就是給指標 i 和 j 分別設定搜尋目標，目標可能是一個具體的元素（例如 target ），也可能是一個元素範圍（例如小於 target 的元素）。

在不斷的迴圈二分中，指標 i 和 j 都逐漸逼近預先設定的目標。最終，它們或是成功找到答案，或是越過邊界後停止。