mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2024-12-28 22:26:28 +08:00
130 KiB
Executable file
130 KiB
Executable file
| comments |
|---|
| true |
2.3 时间复杂度
运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？
- 确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
- 评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作
+需要 1 ns ，乘法操作*需要 10 ns ，打印操作print()需要 5 ns 等。 - 统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。
例如在以下代码中，输入数据大小为 n ：
=== "Python"
```python title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n: int):
a = 2 # 1 ns
a = a + 1 # 1 ns
a = a * 2 # 10 ns
# 循环 n 次
for _ in range(n): # 1 ns
print(0) # 5 ns
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
cout << 0 << endl; // 5 ns
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
System.out.println(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// 在某运行平台下
void Algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
Console.WriteLine(0); // 5 ns
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n int) {
a := 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns
fmt.Println(a) // 5 ns
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n: Int) {
var a = 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // 1 ns
print(0) // 5 ns
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n) {
var a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
console.log(0); // 5 ns
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n: number): void {
var a: number = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
console.log(0); // 5 ns
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
print(0); // 5 ns
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
// 在某运行平台下
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for _ in 0..n { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
println!("{}", 0); // 5 ns
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
printf("%d", 0); // 5 ns
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
// 在某运行平台下
fun algorithm(n: Int) {
var a = 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for (i in 0..<n) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
println(0) // 5 ns
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n)
a = 2 # 1 ns
a = a + 1 # 1 ns
a = a * 2 # 10 ns
# 循环 n 次
(0...n).each do # 1 ns
puts 0 # 5 ns
end
end
```
=== "Zig"
```zig title=""
// 在某运行平台下
fn algorithm(n: usize) void {
var a: i32 = 2; // 1 ns
a += 1; // 1 ns
a *= 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (0..n) |_| { // 1 ns
std.debug.print("{}\n", .{0}); // 5 ns
}
}
```
根据以上方法，可以得到算法的运行时间为 (6n + 12) ns ：
$$
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
但实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
2.3.1 统计时间增长趋势
时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。
“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 n ，给定三个算法 A、B 和 C ：
=== "Python"
```python title=""
# 算法 A 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n: int):
print(0)
# 算法 B 的时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n: int):
for _ in range(n):
print(0)
# 算法 C 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n: int):
for _ in range(1000000):
print(0)
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
System.out.println(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
System.out.println(0);
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void AlgorithmA(int n) {
Console.WriteLine(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void AlgorithmB(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void AlgorithmC(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
func algorithm_A(n int) {
fmt.Println(0)
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
func algorithm_B(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
func algorithm_C(n int) {
for i := 0; i < 1000000; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
func algorithmA(n: Int) {
print(0)
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
func algorithmB(n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
print(0)
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
func algorithmC(n: Int) {
for _ in 0 ..< 1_000_000 {
print(0)
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n) {
console.log(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n) {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n: number): void {
console.log(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n: number): void {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n: number): void {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithmA(int n) {
print(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithmB(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
print(0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithmC(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
print(0);
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
fn algorithm_A(n: i32) {
println!("{}", 0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
fn algorithm_B(n: i32) {
for _ in 0..n {
println!("{}", 0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
fn algorithm_C(n: i32) {
for _ in 0..1000000 {
println!("{}", 0);
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
printf("%d", 0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
fun algoritm_A(n: Int) {
println(0)
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
fun algorithm_B(n: Int) {
for (i in 0..<n){
println(0)
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
fun algorithm_C(n: Int) {
for (i in 0..<1000000) {
println(0)
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
# 算法 A 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n)
puts 0
end
# 算法 B 的时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n)
(0...n).each { puts 0 }
end
# 算法 C 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n)
(0...1_000_000).each { puts 0 }
end
```
=== "Zig"
```zig title=""
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
fn algorithm_A(n: usize) void {
_ = n;
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
fn algorithm_B(n: i32) void {
for (0..n) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
fn algorithm_C(n: i32) void {
_ = n;
for (0..1000000) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
}
```
图 2-7 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
- 算法
A只有1个打印操作，算法运行时间不随着n增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。 - 算法
B中的打印操作需要循环n次，算法运行时间随着n增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。 - 算法
C中的打印操作需要循环1000000次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小n无关。因此C的时间复杂度和A相同，仍为“常数阶”。
{ class="animation-figure" }
图 2-7 算法 A、B 和 C 的时间增长趋势
相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？
- 时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法
B的运行时间呈线性增长，在n > 1时比算法A更慢，在n > 1000000时比算法C更慢。事实上，只要输入数据大小n足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。 - 时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
- 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法
A和C的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法B的时间复杂度比C高，但在输入数据大小n较小时，算法B明显优于算法C。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。
2.3.2 函数渐近上界
给定一个输入大小为 n 的函数：
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# 循环 n 次
for i in range(n): # +1
print(0) # +1
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
cout << 0 << endl; // +1
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
System.out.println(0); // +1
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
Console.WriteLine(0); // +1
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // +1
fmt.Println(a) // +1
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // +1
print(0) // +1
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
var a = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void{
var a: number = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
print(0); // +1
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for _ in 0..n { // +1（每轮都执行 i ++）
println!("{}", 0); // +1
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
printf("%d", 0); // +1
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for (i in 0..<n) { // +1（每轮都执行 i ++）
println(0) // +1
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
def algorithm(n)
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# 循环 n 次
(0...n).each do # +1
puts 0 # +1
end
end
```
=== "Zig"
```zig title=""
fn algorithm(n: usize) void {
var a: i32 = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for (0..n) |_| { // +1（每轮都执行 i ++）
std.debug.print("{}\n", .{0}); // +1
}
}
```
设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 n 的函数，记为 T(n) ，则以上函数的操作数量为：
$$
T(n) = 3 + 2n
T(n) 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 O(n) ，这个数学符号称为大 O 记号（big-O notation），表示函数 T(n) 的渐近上界（asymptotic upper bound）。
时间复杂度分析本质上是计算“操作数量 $T(n)$”的渐近上界，它具有明确的数学定义。
!!! note "函数渐近上界"
若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有 $T(n) \leq c \cdot f(n)$ ，则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为 $T(n) = O(f(n))$ 。
如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 f(n) ，使得当 n 趋向于无穷大时，T(n) 和 f(n) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 c 的倍数。
{ class="animation-figure" }
图 2-8 函数的渐近上界
2.3.3 推算方法
渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。我们可以先掌握推算方法，在不断的实践中，就可以逐渐领悟其数学意义。
根据定义，确定 f(n) 之后，我们便可得到时间复杂度 O(f(n)) 。那么如何确定渐近上界 f(n) 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
1. 第一步：统计操作数量
针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 c \cdot f(n) 中的常数项 c 可以取任意大小，因此操作数量 T(n) 中的各种系数、常数项都可以忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。
- 忽略
T(n)中的常数项。因为它们都与n无关，所以对时间复杂度不产生影响。 - 省略所有系数。例如，循环
2n次、5n + 1次等，都可以简化记为n次，因为n前面的系数对时间复杂度没有影响。 - 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第
1.点和第2.点的技巧。
给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量：
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int):
a = 1 # +0（技巧 1）
a = a + n # +0（技巧 1）
# +n（技巧 2）
for i in range(5 * n + 1):
print(0)
# +n*n（技巧 3）
for i in range(2 * n):
for j in range(n + 1):
print(0)
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
cout << 0 << endl;
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
cout << 0 << endl;
}
}
}
```
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
System.out.println(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
System.out.println(0);
}
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
Console.WriteLine(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
Console.WriteLine(0);
}
}
}
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +0（技巧 1）
a = a + n // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
fmt.Println(0)
}
// +n*n（技巧 3）
for i := 0; i < 2 * n; i++ {
for j := 0; j < n + 1; j++ {
fmt.Println(0)
}
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0（技巧 1）
a = a + n // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
print(0)
}
// +n*n（技巧 3）
for _ in 0 ..< (2 * n) {
for _ in 0 ..< (n + 1) {
print(0)
}
}
}
```
=== "JS"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
let a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "TS"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
let a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
print(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
print(0);
}
}
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
let mut a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for i in 0..(5 * n + 1) {
println!("{}", 0);
}
// +n*n（技巧 3）
for i in 0..(2 * n) {
for j in 0..(n + 1) {
println!("{}", 0);
}
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
printf("%d", 0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
printf("%d", 0);
}
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0（技巧 1）
a = a + n // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (i in 0..<5 * n + 1) {
println(0)
}
// +n*n（技巧 3）
for (i in 0..<2 * n) {
for (j in 0..<n + 1) {
println(0)
}
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title=""
def algorithm(n)
a = 1 # +0（技巧 1）
a = a + n # +0（技巧 1）
# +n（技巧 2）
(0...(5 * n + 1)).each do { puts 0 }
# +n*n（技巧 3）
(0...(2 * n)).each do
(0...(n + 1)).each do { puts 0 }
end
end
```
=== "Zig"
```zig title=""
fn algorithm(n: usize) void {
var a: i32 = 1; // +0（技巧 1）
a = a + @as(i32, @intCast(n)); // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for(0..(5 * n + 1)) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
// +n*n（技巧 3）
for(0..(2 * n)) |_| {
for(0..(n + 1)) |_| {
std.debug.print("{}\n", .{0});
}
}
}
```
以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推算出的时间复杂度都为 O(n^2) 。
$$
\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
\end{aligned}
2. 第二步：判断渐近上界
时间复杂度由 T(n) 中最高阶的项来决定。这是因为在 n 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以忽略。
表 2-2 展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 n 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。
表 2-2 不同操作数量对应的时间复杂度
操作数量 T(n) |
时间复杂度 O(f(n)) |
|---|---|
100000 |
O(1) |
3n + 2 |
O(n) |
2n^2 + 3n + 2 |
O(n^2) |
n^3 + 10000n^2 |
O(n^3) |
2^n + 10000n^{10000} |
O(2^n) |
2.3.4 常见类型
设输入数据大小为 n ，常见的时间复杂度类型如图 2-9 所示（按照从低到高的顺序排列）。
$$
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
\end{aligned}
{ class="animation-figure" }
图 2-9 常见的时间复杂度类型
1. 常数阶 O(1)
常数阶的操作数量与输入数据大小 n 无关，即不随着 n 的变化而变化。
在以下函数中，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与输入数据大小 n 无关，因此时间复杂度仍为 O(1) ：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def constant(n: int) -> int:
"""常数阶"""
count = 0
size = 100000
for _ in range(size):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 常数阶 */
int Constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 常数阶 */
func constant(n int) int {
count := 0
size := 100000
for i := 0; i < size; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 常数阶 */
func constant(n: Int) -> Int {
var count = 0
let size = 100_000
for _ in 0 ..< size {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 常数阶 */
function constant(n) {
let count = 0;
const size = 100000;
for (let i = 0; i < size; i++) count++;
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 常数阶 */
function constant(n: number): number {
let count = 0;
const size = 100000;
for (let i = 0; i < size; i++) count++;
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (var i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 常数阶 */
fn constant(n: i32) -> i32 {
_ = n;
let mut count = 0;
let size = 100_000;
for _ in 0..size {
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
int i = 0;
for (int i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 常数阶 */
fun constant(n: Int): Int {
var count = 0
val size = 100000
for (i in 0..<size)
count++
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 常数阶 ###
def constant(n)
count = 0
size = 100000
(0...size).each { count += 1 }
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 常数阶
fn constant(n: i32) i32 {
_ = n;
var count: i32 = 0;
const size: i32 = 100_000;
var i: i32 = 0;
while(i<size) : (i += 1) {
count += 1;
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20constant%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20size%20%3D%2010%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28size%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20constant%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B8%B8%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
2. 线性阶 O(n)
线性阶的操作数量相对于输入数据大小 n 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def linear(n: int) -> int:
"""线性阶"""
count = 0
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性阶 */
int Linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 线性阶 */
func linear(n int) int {
count := 0
for i := 0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 线性阶 */
func linear(n: Int) -> Int {
var count = 0
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 线性阶 */
function linear(n) {
let count = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) count++;
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 线性阶 */
function linear(n: number): number {
let count = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) count++;
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 线性阶 */
fn linear(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
for _ in 0..n {
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 线性阶 */
fun linear(n: Int): Int {
var count = 0
for (i in 0..<n)
count++
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 线性阶 ###
def linear(n)
count = 0
(0...n).each { count += 1 }
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 线性阶
fn linear(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var i: i32 = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
count += 1;
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 441px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 O(n) ，其中 n 为数组或链表的长度：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def array_traversal(nums: list[int]) -> int:
"""线性阶（遍历数组）"""
count = 0
# 循环次数与数组长度成正比
for num in nums:
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(vector<int> &nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性阶（遍历数组） */
int ArrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
foreach (int num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 线性阶（遍历数组） */
func arrayTraversal(nums []int) int {
count := 0
// 循环次数与数组长度成正比
for range nums {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 线性阶（遍历数组） */
func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成正比
for _ in nums {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 线性阶（遍历数组） */
function arrayTraversal(nums) {
let count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 线性阶（遍历数组） */
function arrayTraversal(nums: number[]): number {
let count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(List<int> nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (var _num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 线性阶（遍历数组） */
fn array_traversal(nums: &[i32]) -> i32 {
let mut count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for _ in nums {
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int *nums, int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 线性阶（遍历数组） */
fun arrayTraversal(nums: IntArray): Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成正比
for (num in nums) {
count++
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 线性阶（遍历数组）###
def array_traversal(nums)
count = 0
# 循环次数与数组长度成正比
for num in nums
count += 1
end
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 线性阶（遍历数组）
fn arrayTraversal(nums: []i32) i32 {
var count: i32 = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (nums) |_| {
count += 1;
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E6%AD%A3%E6%AF%94%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20*%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20array_traversal%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%BB%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E6%88%90%E6%AD%A3%E6%AF%94%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20array_traversal%28%5B0%5D%20*%20n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
值得注意的是，输入数据大小 n 需根据输入数据的类型来具体确定。比如在第一个示例中，变量 n 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 n 为数据大小。
3. 平方阶 O(n^2)
平方阶的操作数量相对于输入数据大小 n 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环的时间复杂度都为 O(n) ，因此总体的时间复杂度为 O(n^2) ：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def quadratic(n: int) -> int:
"""平方阶"""
count = 0
# 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for i in range(n):
for j in range(n):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 平方阶 */
int Quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 平方阶 */
func quadratic(n int) int {
count := 0
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
count++
}
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 平方阶 */
func quadratic(n: Int) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 平方阶 */
function quadratic(n) {
let count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 平方阶 */
function quadratic(n: number): number {
let count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 平方阶 */
fn quadratic(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for _ in 0..n {
for _ in 0..n {
count += 1;
}
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 平方阶 */
fun quadratic(n: Int): Int {
var count = 0
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for (i in 0..<n) {
for (j in 0..<n) {
count++
}
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 平方阶 ###
def quadratic(n)
count = 0
# 循环次数与数据大小 n 成平方关系
for i in 0...n
for j in 0...n
count += 1
end
end
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 平方阶
fn quadratic(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var i: i32 = 0;
// 循环次数与数据大小 n 成平方关系
while (i < n) : (i += 1) {
var j: i32 = 0;
while (j < n) : (j += 1) {
count += 1;
}
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%E6%88%90%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%B3%E7%B3%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20quadratic%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%AC%A1%E6%95%B0%E4%B8%8E%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%E6%88%90%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%B3%E7%B3%BB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20quadratic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。
{ class="animation-figure" }
图 2-10 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度
以冒泡排序为例，外层循环执行 n - 1 次，内层循环执行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、1 次，平均为 n / 2 次，因此时间复杂度为 O((n - 1) n / 2) = O(n^2) ：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def bubble_sort(nums: list[int]) -> int:
"""平方阶（冒泡排序）"""
count = 0 # 计数器
# 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in range(i):
if nums[j] > nums[j + 1]:
# 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp: int = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(vector<int> &nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int BubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
(nums[j + 1], nums[j]) = (nums[j], nums[j + 1]);
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 平方阶（冒泡排序） */
func bubbleSort(nums []int) int {
count := 0 // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[j] > nums[j+1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp := nums[j]
nums[j] = nums[j+1]
nums[j+1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 平方阶（冒泡排序） */
func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
var count = 0 // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in nums.indices.dropFirst().reversed() {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0 ..< i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 平方阶（冒泡排序） */
function bubbleSort(nums) {
let count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 平方阶（冒泡排序） */
function bubbleSort(nums: number[]): number {
let count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(List<int> nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (var j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 平方阶（冒泡排序） */
fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) -> i32 {
let mut count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int *nums, int n) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 平方阶（冒泡排序） */
fun bubbleSort(nums: IntArray): Int {
var count = 0 // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (i in nums.size - 1 downTo 1) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (j in 0..<i) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
val temp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = temp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 平方阶（冒泡排序）###
def bubble_sort(nums)
count = 0 # 计数器
# 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (nums.length - 1).downto(0)
# 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0...i
if nums[j] > nums[j + 1]
# 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作
end
end
end
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 平方阶（冒泡排序）
fn bubbleSort(nums: []i32) i32 {
var count: i32 = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
var i: i32 = @as(i32, @intCast(nums.len)) - 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
var j: usize = 0;
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
while (j < i) : (j += 1) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
var tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%E8%AE%A1%E6%95%B0%E5%99%A8%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E8%AF%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%8F%B3%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%20nums%5Bj%5D%20%E4%B8%8E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%8C%85%E5%90%AB%203%20%E4%B8%AA%E5%8D%95%E5%85%83%E6%93%8D%E4%BD%9C%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n,%200,%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn,%20n-1,%20...,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20bubble_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%20%20%23%20%E8%AE%A1%E6%95%B0%E5%99%A8%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%20-%201,%200,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%E6%9C%AA%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E8%87%B3%E8%AF%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%8F%B3%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%28i%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bj%5D%20%3E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%20nums%5Bj%5D%20%E4%B8%8E%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20nums%5Bj%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%5D%20%3D%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%203%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%8C%85%E5%90%AB%203%20%E4%B8%AA%E5%8D%95%E5%85%83%E6%93%8D%E4%BD%9C%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%28n,%200,%20-1%29%5D%20%20%23%20%5Bn,%20n-1,%20...,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20count%20%3D%20bubble_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%B9%B3%E6%96%B9%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%86%92%E6%B3%A1%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
4. 指数阶 O(2^n)
生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 1 个细胞，分裂一轮后变为 2 个，分裂两轮后变为 4 个，以此类推，分裂 n 轮后有 2^n 个细胞。
图 2-11 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 O(2^n) ：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def exponential(n: int) -> int:
"""指数阶（循环实现）"""
count = 0
base = 1
# 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in range(n):
for _ in range(base):
count += 1
base *= 2
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 指数阶（循环实现） */
int Exponential(int n) {
int count = 0, bas = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < bas; j++) {
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 指数阶（循环实现）*/
func exponential(n int) int {
count, base := 0, 1
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < base; j++ {
count++
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 指数阶（循环实现） */
func exponential(n: Int) -> Int {
var count = 0
var base = 1
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< base {
count += 1
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 指数阶（循环实现） */
function exponential(n) {
let count = 0,
base = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 指数阶（循环实现） */
function exponential(n: number): number {
let count = 0,
base = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (var i = 0; i < n; i++) {
for (var j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 指数阶（循环实现） */
fn exponential(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
let mut base = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0..n {
for _ in 0..base {
count += 1
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0;
int bas = 1;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < bas; j++) {
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 指数阶（循环实现） */
fun exponential(n: Int): Int {
var count = 0
var base = 1
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (i in 0..<n) {
for (j in 0..<base) {
count++
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 指数阶（循环实现）###
def exponential(n)
count, base = 0, 1
# 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
(0...n).each do
(0...base).each { count += 1 }
base *= 2
end
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 指数阶（循环实现）
fn exponential(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var bas: i32 = 1;
var i: i32 = 0;
// 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
while (i < n) : (i += 1) {
var j: i32 = 0;
while (j < bas) : (j += 1) {
count += 1;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 531px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%BB%86%E8%83%9E%E6%AF%8F%E8%BD%AE%E4%B8%80%E5%88%86%E4%B8%BA%E4%BA%8C%EF%BC%8C%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%95%B0%E5%88%97%201,%202,%204,%208,%20...,%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20*%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exponential%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20base%20%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E7%BB%86%E8%83%9E%E6%AF%8F%E8%BD%AE%E4%B8%80%E5%88%86%E4%B8%BA%E4%BA%8C%EF%BC%8C%E5%BD%A2%E6%88%90%E6%95%B0%E5%88%97%201,%202,%204,%208,%20...,%202%5E%28n-1%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28base%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20*%3D%202%0A%20%20%20%20%23%20count%20%3D%201%20%2B%202%20%2B%204%20%2B%208%20%2B%20..%20%2B%202%5E%28n-1%29%20%3D%202%5En%20-%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exponential%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
{ class="animation-figure" }
图 2-11 指数阶的时间复杂度
在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 n 次分裂后停止：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def exp_recur(n: int) -> int:
"""指数阶（递归实现）"""
if n == 1:
return 1
return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 指数阶（递归实现） */
int ExpRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return ExpRecur(n - 1) + ExpRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 指数阶（递归实现）*/
func expRecur(n int) int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 指数阶（递归实现） */
func expRecur(n: Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n) {
if (n === 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n: number): number {
if (n === 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 指数阶（递归实现） */
fn exp_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 1 {
return 1;
}
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 指数阶（递归实现） */
fun expRecur(n: Int): Int {
if (n == 1) {
return 1
}
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 指数阶（递归实现）###
def exp_recur(n)
return 1 if n == 1
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 指数阶（递归实现）
fn expRecur(n: i32) i32 {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20exp_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20return%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%20exp_recur%28n%20-%201%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%207%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20exp_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。
5. 对数阶 O(\log n)
与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 n ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \log_2 n ，即 2^n 的反函数。
图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 O(\log_2 n) ，简记为 O(\log n) ：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def logarithmic(n: int) -> int:
"""对数阶（循环实现）"""
count = 0
while n > 1:
n = n / 2
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 对数阶（循环实现） */
int Logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n /= 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 对数阶（循环实现）*/
func logarithmic(n int) int {
count := 0
for n > 1 {
n = n / 2
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 对数阶（循环实现） */
func logarithmic(n: Int) -> Int {
var count = 0
var n = n
while n > 1 {
n = n / 2
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 对数阶（循环实现） */
function logarithmic(n) {
let count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 对数阶（循环实现） */
function logarithmic(n: number): number {
let count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n ~/ 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 对数阶（循环实现） */
fn logarithmic(mut n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
while n > 1 {
n = n / 2;
count += 1;
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(int n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 对数阶（循环实现） */
fun logarithmic(n: Int): Int {
var n1 = n
var count = 0
while (n1 > 1) {
n1 /= 2
count++
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 对数阶（循环实现）###
def logarithmic(n)
count = 0
while n > 1
n /= 2
count += 1
end
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 对数阶（循环实现）
fn logarithmic(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var n_var = n;
while (n_var > 1)
{
n_var = n_var / 2;
count +=1;
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20/%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20logarithmic%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20while%20n%20%3E%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20n%20/%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20logarithmic%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
{ class="animation-figure" }
图 2-12 对数阶的时间复杂度
与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一棵高度为 \log_2 n 的递归树：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def log_recur(n: int) -> int:
"""对数阶（递归实现）"""
if n <= 1:
return 0
return log_recur(n / 2) + 1
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 对数阶（递归实现） */
int LogRecur(int n) {
if (n <= 1) return 0;
return LogRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 对数阶（递归实现）*/
func logRecur(n int) int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n/2) + 1
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 对数阶（递归实现） */
func logRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n: n / 2) + 1
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 对数阶（递归实现） */
function logRecur(n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 对数阶（递归实现） */
function logRecur(n: number): number {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n ~/ 2) + 1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 对数阶（递归实现） */
fn log_recur(n: i32) -> i32 {
if n <= 1 {
return 0;
}
log_recur(n / 2) + 1
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 对数阶（递归实现） */
fun logRecur(n: Int): Int {
if (n <= 1)
return 0
return logRecur(n / 2) + 1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 对数阶（递归实现）###
def log_recur(n)
return 0 unless n > 1
log_recur(n / 2) + 1
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 对数阶（递归实现）
fn logRecur(n: i32) i32 {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20/%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200%0A%20%20%20%20return%20log_recur%28n%20/%202%29%20%2B%201%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。
!!! tip "O(\log n) 的底数是多少？"
准确来说，“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数、相等的时间复杂度：
$$
O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
$$
也就是说，底数 $m$ 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 $m$ ，将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。
6. 线性对数阶 O(n \log n)
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 O(\log n) 和 O(n) 。相关代码如下：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def linear_log_recur(n: int) -> int:
"""线性对数阶"""
if n <= 1:
return 1
count: int = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2)
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性对数阶 */
int LinearLogRecur(int n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = LinearLogRecur(n / 2) + LinearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 线性对数阶 */
func linearLogRecur(n int) int {
if n <= 1 {
return 1
}
count := linearLogRecur(n/2) + linearLogRecur(n/2)
for i := 0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 线性对数阶 */
func linearLogRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 1 {
return 1
}
var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)
for _ in stride(from: 0, to: n, by: 1) {
count += 1
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 线性对数阶 */
function linearLogRecur(n) {
if (n <= 1) return 1;
let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (let i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 线性对数阶 */
function linearLogRecur(n: number): number {
if (n <= 1) return 1;
let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (let i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n ~/ 2) + linearLogRecur(n ~/ 2);
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 线性对数阶 */
fn linear_log_recur(n: i32) -> i32 {
if n <= 1 {
return 1;
}
let mut count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2);
for _ in 0..n as i32 {
count += 1;
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(int n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 线性对数阶 */
fun linearLogRecur(n: Int): Int {
if (n <= 1)
return 1
var count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2)
for (i in 0..<n) {
count++
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 线性对数阶 ###
def linear_log_recur(n)
return 1 unless n > 1
count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2)
(0...n).each { count += 1 }
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 线性对数阶
fn linearLogRecur(n: i32) i32 {
if (n <= 1) return 1;
var count: i32 = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
var i: i32 = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
count += 1;
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 477px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20linear_log_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3C%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%20%2B%20linear_log_recur%28n%20//%202%29%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%208%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20linear_log_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%AF%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 n ，树共有 \log_2 n + 1 层，因此时间复杂度为 O(n \log n) 。
{ class="animation-figure" }
图 2-13 线性对数阶的时间复杂度
主流排序算法的时间复杂度通常为 O(n \log n) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
7. 阶乘阶 O(n!)
阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 n 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
阶乘通常使用递归实现。如图 2-14 和以下代码所示，第一层分裂出 n 个，第二层分裂出 n - 1 个，以此类推，直至第 n 层时停止分裂：
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def factorial_recur(n: int) -> int:
"""阶乘阶（递归实现）"""
if n == 0:
return 1
count = 0
# 从 1 个分裂出 n 个
for _ in range(n):
count += factorial_recur(n - 1)
return count
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int FactorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += FactorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 阶乘阶（递归实现） */
func factorialRecur(n int) int {
if n == 0 {
return 1
}
count := 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for i := 0; i < n; i++ {
count += factorialRecur(n - 1)
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 阶乘阶（递归实现） */
func factorialRecur(n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
var count = 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for _ in 0 ..< n {
count += factorialRecur(n: n - 1)
}
return count
}
```
=== "JS"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n) {
if (n === 0) return 1;
let count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (let i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "TS"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n: number): number {
if (n === 0) return 1;
let count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (let i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (var i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 阶乘阶（递归实现） */
fn factorial_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 0 {
return 1;
}
let mut count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for _ in 0..n {
count += factorial_recur(n - 1);
}
count
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="time_complexity.kt"
/* 阶乘阶（递归实现） */
fun factorialRecur(n: Int): Int {
if (n == 0)
return 1
var count = 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for (i in 0..<n) {
count += factorialRecur(n - 1)
}
return count
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="time_complexity.rb"
### 阶乘阶（递归实现）###
def factorial_recur(n)
return 1 if n == 0
count = 0
# 从 1 个分裂出 n 个
(0...n).each { count += factorial_recur(n - 1) }
count
end
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 阶乘阶（递归实现）
fn factorialRecur(n: i32) i32 {
if (n == 0) return 1;
var count: i32 = 0;
var i: i32 = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
while (i < n) : (i += 1) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 495px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%201%20%E4%B8%AA%E5%88%86%E8%A3%82%E5%87%BA%20n%20%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20factorial_recur%28n%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%201%20%E4%B8%AA%E5%88%86%E8%A3%82%E5%87%BA%20n%20%E4%B8%AA%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range%28n%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%20factorial_recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20return%20count%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%204%0A%20%20%20%20print%28%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%A7%E5%B0%8F%20n%20%3D%22,%20n%29%0A%0A%20%20%20%20count%20%3D%20factorial_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E9%98%B6%E4%B9%98%E9%98%B6%EF%BC%88%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AE%9E%E7%8E%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%93%8D%E4%BD%9C%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%22,%20count%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
{ class="animation-figure" }
图 2-14 阶乘阶的时间复杂度
请注意，因为当 n \geq 4 时恒有 n! > 2^n ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 n 较大时也是不可接受的。
2.3.5 最差、最佳、平均时间复杂度
算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。假设输入一个长度为 n 的数组 nums ，其中 nums 由从 1 至 n 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 1 的索引。我们可以得出以下结论。
- 当
nums = [?, ?, ..., 1]，即当末尾元素是1时，需要完整遍历数组，达到最差时间复杂度 $O(n)$ 。 - 当
nums = [1, ?, ?, ...]，即当首个元素为1时，无论数组多长都不需要继续遍历，达到最佳时间复杂度 $\Omega(1)$ 。
“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 O 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 \Omega 记号表示：
=== "Python"
```python title="worst_best_time_complexity.py"
def random_numbers(n: int) -> list[int]:
"""生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱"""
# 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = [i for i in range(1, n + 1)]
# 随机打乱数组元素
random.shuffle(nums)
return nums
def find_one(nums: list[int]) -> int:
"""查找数组 nums 中数字 1 所在索引"""
for i in range(len(nums)):
# 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
# 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1:
return i
return -1
```
=== "C++"
```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
vector<int> randomNumbers(int n) {
vector<int> nums(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 使用系统时间生成随机种子
unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
// 随机打乱数组元素
shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(vector<int> &nums) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Java"
```java title="worst_best_time_complexity.java"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int[] randomNumbers(int n) {
Integer[] nums = new Integer[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
// Integer[] -> int[]
int[] res = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i] = nums[i];
}
return res;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int[] RandomNumbers(int n) {
int[] nums = new int[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
int index = new Random().Next(i, nums.Length);
(nums[i], nums[index]) = (nums[index], nums[i]);
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int FindOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Go"
```go title="worst_best_time_complexity.go"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
func randomNumbers(n int) []int {
nums := make([]int, n)
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for i := 0; i < n; i++ {
nums[i] = i + 1
}
// 随机打乱数组元素
rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
})
return nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
func findOne(nums []int) int {
for i := 0; i < len(nums); i++ {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
```
=== "Swift"
```swift title="worst_best_time_complexity.swift"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
var nums = Array(1 ... n)
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle()
return nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
func findOne(nums: [Int]) -> Int {
for i in nums.indices {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
```
=== "JS"
```javascript title="worst_best_time_complexity.js"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
function randomNumbers(n) {
const nums = Array(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (let i = 0; i < n; i++) {
const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
const temp = nums[i];
nums[i] = nums[r];
nums[r] = temp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
function findOne(nums) {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] === 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="worst_best_time_complexity.ts"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
function randomNumbers(n: number): number[] {
const nums = Array(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (let i = 0; i < n; i++) {
const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
const temp = nums[i];
nums[i] = nums[r];
nums[r] = temp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
function findOne(nums: number[]): number {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] === 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="worst_best_time_complexity.dart"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
List<int> randomNumbers(int n) {
final nums = List.filled(n, 0);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (var i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle();
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(List<int> nums) {
for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1) return i;
}
return -1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="worst_best_time_complexity.rs"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
fn random_numbers(n: i32) -> Vec<i32> {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
let mut nums = (1..=n).collect::<Vec<i32>>();
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle(&mut thread_rng());
nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
fn find_one(nums: &[i32]) -> Option<usize> {
for i in 0..nums.len() {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return Some(i);
}
}
None
}
```
=== "C"
```c title="worst_best_time_complexity.c"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int *randomNumbers(int n) {
// 分配堆区内存（创建一维可变长数组：数组中元素数量为 n ，元素类型为 int ）
int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
int j = rand() % (i + 1);
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int *nums, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="worst_best_time_complexity.kt"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
fun randomNumbers(n: Int): Array<Int?> {
val nums = IntArray(n)
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (i in 0..<n) {
nums[i] = i + 1
}
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle()
val res = arrayOfNulls<Int>(n)
for (i in 0..<n) {
res[i] = nums[i]
}
return res
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
fun findOne(nums: Array<Int?>): Int {
for (i in nums.indices) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i
}
return -1
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="worst_best_time_complexity.rb"
### 生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱 ###
def random_numbers(n)
# 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = Array.new(n) { |i| i + 1 }
# 随机打乱数组元素
nums.shuffle!
end
### 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 ###
def find_one(nums)
for i in 0...nums.length
# 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
# 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
return i if nums[i] == 1
end
-1
end
```
=== "Zig"
```zig title="worst_best_time_complexity.zig"
// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {
var nums: [n]i32 = undefined;
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (&nums, 0..) |*num, i| {
num.* = @as(i32, @intCast(i)) + 1;
}
// 随机打乱数组元素
const rand = std.crypto.random;
rand.shuffle(i32, &nums);
return nums;
}
// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
fn findOne(nums: []i32) i32 {
for (nums, 0..) |num, i| {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (num == 1) return @intCast(i);
}
return -1;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%8C%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BA%3A%201,%202,%20...,%20n%20%EF%BC%8C%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%94%9F%E6%88%90%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%3A%201,%202,%203,%20...,%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%89%93%E4%B9%B1%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%A4%B4%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%B7%AE%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%95%B0%E7%BB%84%20%5B%201,%202,%20...,%20n%20%5D%20%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%E5%90%8E%20%3D%22,%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%22,%20index%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=import%20random%0A%0Adef%20random_numbers%28n%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%95%B0%E7%BB%84%EF%BC%8C%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%BA%3A%201,%202,%20...,%20n%20%EF%BC%8C%E9%A1%BA%E5%BA%8F%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%94%9F%E6%88%90%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%3A%201,%202,%203,%20...,%20n%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range%281,%20n%20%2B%201%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E6%89%93%E4%B9%B1%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20random.shuffle%28nums%29%0A%20%20%20%20return%20nums%0A%0Adef%20find_one%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%A4%B4%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%281%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%85%83%E7%B4%A0%201%20%E5%9C%A8%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%B7%AE%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%20O%28n%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bi%5D%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20i%0A%20%20%20%20return%20-1%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2010%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20random_numbers%28n%29%0A%20%20%20%20index%20%3D%20find_one%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%95%B0%E7%BB%84%20%5B%201,%202,%20...,%20n%20%5D%20%E8%A2%AB%E6%89%93%E4%B9%B1%E5%90%8E%20%3D%22,%20nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%95%B0%E5%AD%97%201%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%22,%20index%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=25&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。
从上述示例可以看出，最差时间复杂度和最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 \Theta 记号来表示。
对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 1 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 n / 2 ，平均时间复杂度为 \Theta(n / 2) = \Theta(n) 。
但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
!!! question "为什么很少看到 \Theta 符号？"
可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，因此我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上讲，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。