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# AVL 树 *
在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png)
再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png)
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。
## AVL 树常见术语
「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。
### 结点高度
在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* AVL 树结点类 */
class TreeNode {
public int val; // 结点值
public int height; // 结点高度
public TreeNode left; // 左子结点
public TreeNode right; // 右子结点
public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" AVL 树结点类 """
class TreeNode:
def __init__(self, val=None, left=None, right=None):
self.val = val # 结点值
self.height = 0 # 结点高度
self.left = left # 左子结点引用
self.right = right # 右子结点引用
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* AVL 树结点类 */
class TreeNode {
public int val; // 结点值
public int height; // 结点高度
public TreeNode? left; // 左子结点
public TreeNode? right; // 右子结点
public TreeNode(int x) { val = x; }
}
```
「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1** 。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 获取结点高度 */
int height(TreeNode node) {
// 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
return node == null ? -1 : node.height;
}
/* 更新结点高度 */
void updateHeight(TreeNode node) {
// 结点高度等于最高子树高度 + 1
node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 获取结点高度 """
def height(self, node: typing.Optional[TreeNode]) -> int:
# 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
if node is not None:
return node.height
return -1
""" 更新结点高度 """
def __update_height(self, node: TreeNode):
# 结点高度等于最高子树高度 + 1
node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 获取结点高度 */
public int height(TreeNode? node)
{
// 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
return node == null ? -1 : node.height;
}
/* 更新结点高度 */
private void updateHeight(TreeNode node)
{
// 结点高度等于最高子树高度 + 1
node.height = Math.Max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
```
### 结点平衡因子
结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 获取结点平衡因子 */
public int balanceFactor(TreeNode node) {
// 空结点平衡因子为 0
if (node == null) return 0;
// 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
return height(node.left) - height(node.right);
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 获取平衡因子 """
def balance_factor(self, node: TreeNode) -> int:
# 空结点平衡因子为 0
if node is None:
return 0
# 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
return self.height(node.left) - self.height(node.right)
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 获取平衡因子 */
public int balanceFactor(TreeNode? node)
{
// 空结点平衡因子为 0
if (node == null) return 0;
// 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
return height(node.left) - height(node.right);
}
```
!!! note
设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
## AVL 树旋转
AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡。** 换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
### Case 1 - 右旋
如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3** 。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
=== "Step 1"
![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
=== "Step 2"
![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
=== "Step 3"
![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
=== "Step 4"
![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild`），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png)
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 右旋操作 */
TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
TreeNode child = node.left;
TreeNode grandChild = child.right;
// 以 child 为原点，将 node 向右旋转
child.right = node;
node.left = grandChild;
// 更新结点高度
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 返回旋转后子树的根节点
return child;
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 右旋操作 """
def __right_rotate(self, node: TreeNode) -> TreeNode:
child = node.left
grand_child = child.right
# 以 child 为原点，将 node 向右旋转
child.right = node
node.left = grand_child
# 更新结点高度
self.__update_height(node)
self.__update_height(child)
# 返回旋转后子树的根节点
return child
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 右旋操作 */
TreeNode? rightRotate(TreeNode? node)
{
TreeNode? child = node.left;
TreeNode? grandChild = child?.right;
// 以 child 为原点，将 node 向右旋转
child.right = node;
node.left = grandChild;
// 更新结点高度
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 返回旋转后子树的根节点
return child;
}
```
### Case 2 - 左旋
类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。
![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png)
根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` 即可。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 左旋操作 */
private TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
TreeNode child = node.right;
TreeNode grandChild = child.left;
// 以 child 为原点，将 node 向左旋转
child.left = node;
node.right = grandChild;
// 更新结点高度
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 返回旋转后子树的根节点
return child;
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 左旋操作 """
def __left_rotate(self, node: TreeNode) -> TreeNode:
child = node.right
grand_child = child.left
# 以 child 为原点，将 node 向左旋转
child.left = node
node.right = grand_child
# 更新结点高度
self.__update_height(node)
self.__update_height(child)
# 返回旋转后子树的根节点
return child
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 左旋操作 */
TreeNode? leftRotate(TreeNode? node)
{
TreeNode? child = node.right;
TreeNode? grandChild = child?.left;
// 以 child 为原点，将 node 向左旋转
child.left = node;
node.right = grandChild;
// 更新结点高度
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 返回旋转后子树的根节点
return child;
}
```
### Case 3 - 先左后右
对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png)
### Case 4 - 先右后左
同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png)
### 旋转的选择
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 一一对应，分别采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转组合。
![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png)
具体地，需要使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
<div class="center-table" markdown>
| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
| ------------------ | ---------------- | ---------------- |
| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
| $>0$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
| $<0$ （即右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
| $<0$ （即右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
</div>
根据以上规则，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况，使失衡结点重新恢复平衡**。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
TreeNode rotate(TreeNode node) {
// 获取结点 node 的平衡因子
int balanceFactor = balanceFactor(node);
// 左偏树
if (balanceFactor > 1) {
if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右旋
return rightRotate(node);
} else {
// 先左旋后右旋
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右偏树
if (balanceFactor < -1) {
if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左旋
return leftRotate(node);
} else {
// 先右旋后左旋
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡树，无需旋转，直接返回
return node;
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 """
def __rotate(self, node: TreeNode) -> TreeNode:
# 获取结点 node 的平衡因子
balance_factor = self.balance_factor(node)
# 左偏树
if balance_factor > 1:
if self.balance_factor(node.left) >= 0:
# 右旋
return self.__right_rotate(node)
else:
# 先左旋后右旋
node.left = self.__left_rotate(node.left)
return self.__right_rotate(node)
# 右偏树
elif balance_factor < -1:
if self.balance_factor(node.right) <= 0:
# 左旋
return self.__left_rotate(node)
else:
# 先右旋后左旋
node.right = self.__right_rotate(node.right)
return self.__left_rotate(node)
# 平衡树，无需旋转，直接返回
return node
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
TreeNode? rotate(TreeNode? node)
{
// 获取结点 node 的平衡因子
int balanceFactorInt = balanceFactor(node);
// 左偏树
if (balanceFactorInt > 1)
{
if (balanceFactor(node.left) >= 0)
{
// 右旋
return rightRotate(node);
}
else
{
// 先左旋后右旋
node.left = leftRotate(node?.left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右偏树
if (balanceFactorInt < -1)
{
if (balanceFactor(node.right) <= 0)
{
// 左旋
return leftRotate(node);
}
else
{
// 先右旋后左旋
node.right = rightRotate(node?.right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡树，无需旋转，直接返回
return node;
}
```
## AVL 树常用操作
### 插入结点
「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以，**我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 插入结点 */
TreeNode insert(int val) {
root = insertHelper(root, val);
return root;
}
/* 递归插入结点（辅助函数） */
TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null) return new TreeNode(val);
/* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
if (val < node.val)
node.left = insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = insertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重复结点不插入，直接返回
updateHeight(node); // 更新结点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 插入结点 """
def insert(self, val) -> TreeNode:
self.root = self.__insert_helper(self.root, val)
return self.root
""" 递归插入结点（辅助函数）"""
def __insert_helper(self, node: typing.Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode:
if node is None:
return TreeNode(val)
# 1. 查找插入位置，并插入结点
if val < node.val:
node.left = self.__insert_helper(node.left, val)
elif val > node.val:
node.right = self.__insert_helper(node.right, val)
else:
# 重复结点不插入，直接返回
return node
# 更新结点高度
self.__update_height(node)
# 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
return self.__rotate(node)
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 插入结点 */
public TreeNode? insert(int val)
{
root = insertHelper(root, val);
return root;
}
/* 递归插入结点（辅助函数） */
private TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val)
{
if (node == null) return new TreeNode(val);
/* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
if (val < node.val)
node.left = insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = insertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重复结点不插入，直接返回
updateHeight(node); // 更新结点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
```
### 删除结点
「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，**在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
=== "Java"
```java title="avl_tree.java"
/* 删除结点 */
TreeNode remove(int val) {
root = removeHelper(root, val);
return root;
}
/* 递归删除结点（辅助函数） */
TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null) return null;
/* 1. 查找结点，并删除之 */
if (val < node.val)
node.left = removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = removeHelper(node.right, val);
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;
// 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
if (child == null)
return null;
// 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
else
node = child;
} else {
// 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
TreeNode temp = minNode(node.right);
node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
updateHeight(node); // 更新结点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
/* 获取最小结点 */
TreeNode minNode(TreeNode node) {
if (node == null) return node;
// 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
while (node.left != null) {
node = node.left;
}
return node;
}
```
=== "C++"
```cpp title="avl_tree.cpp"
```
=== "Python"
```python title="avl_tree.py"
""" 删除结点 """
def remove(self, val: int):
root = self.__remove_helper(self.root, val)
return root
""" 递归删除结点（辅助函数） """
def __remove_helper(self, node: typing.Optional[TreeNode], val: int) -> typing.Optional[TreeNode]:
if node is None:
return None
# 1. 查找结点，并删除之
if val < node.val:
node.left = self.__remove_helper(node.left, val)
elif val > node.val:
node.right = self.__remove_helper(node.right, val)
else:
if node.left is None or node.right is None:
child = node.left or node.right
# 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
if child is None:
return None
# 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
else:
node = child
else: # 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
temp = self.min_node(node.right)
node.right = self.__remove_helper(node.right, temp.val)
node.val = temp.val
# 更新结点高度
self.__update_height(node)
# 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
return self.__rotate(node)
""" 获取最小结点 """
def min_node(self, node: typing.Optional[TreeNode]) -> typing.Optional[TreeNode]:
if node is None:
return None
# 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
while node.left is not None:
node = node.left
return node
```
=== "Go"
```go title="avl_tree.go"
```
=== "JavaScript"
```js title="avl_tree.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="avl_tree.ts"
```
=== "C"
```c title="avl_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="avl_tree.cs"
/* 删除结点 */
public TreeNode? remove(int val)
{
root = removeHelper(root, val);
return root;
}
/* 递归删除结点（辅助函数） */
private TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val)
{
if (node == null) return null;
/* 1. 查找结点，并删除之 */
if (val < node.val)
node.left = removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = removeHelper(node.right, val);
else
{
if (node.left == null || node.right == null)
{
TreeNode? child = node.left != null ? node.left : node.right;
// 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
if (child == null)
return null;
// 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
else
node = child;
}
else
{
// 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
TreeNode? temp = minNode(node.right);
node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
updateHeight(node); // 更新结点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
/* 获取最小结点 */
private TreeNode? minNode(TreeNode? node)
{
if (node == null) return node;
// 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
while (node.left != null)
{
node = node.left;
}
return node;
}
```
### 查找结点
「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。
## AVL 树典型应用
- 组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
- 用于建立数据库中的索引系统；
!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。
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