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# 建堆操作
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在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
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## 自上而下构建
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我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
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每当一个元素入堆，堆的长度就加一，因此堆是“自上而下”地构建的。
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设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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## 自下而上构建
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实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
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1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中。
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2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
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在倒序遍历中，堆是“自下而上”地构建的，需要重点理解以下两点。
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- 由于叶节点没有子节点，因此无需对它们执行堆化。最后一个节点的父节点是最后一个非叶节点。
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- 在倒序遍历中，我们能够保证当前节点之下的子树已经完成堆化（已经是合法的堆），而这是堆化当前节点的前置条件。
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=== "Java"
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```java title="my_heap.java"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="my_heap.cpp"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "Python"
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```python title="my_heap.py"
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[class]{MaxHeap}-[func]{__init__}
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```
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=== "Go"
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```go title="my_heap.go"
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[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="my_heap.js"
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[class]{MaxHeap}-[func]{constructor}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="my_heap.ts"
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[class]{MaxHeap}-[func]{constructor}
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```
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=== "C"
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```c title="my_heap.c"
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[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="my_heap.cs"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="my_heap.swift"
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[class]{MaxHeap}-[func]{init}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="my_heap.zig"
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[class]{MaxHeap}-[func]{init}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="my_heap.dart"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="my_heap.rs"
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[class]{MaxHeap}-[func]{new}
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```
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## 复杂度分析
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下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
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- 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) / 2$ 。
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- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。
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将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。
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接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ ，高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
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如上图所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
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$$
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T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
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$$
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化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到：
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$$
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\begin{aligned}
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T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
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2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
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\end{aligned}
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$$
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使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得：
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$$
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
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$$
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观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
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$$
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\begin{aligned}
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T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
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& = O(2^h)
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\end{aligned}
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$$
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进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
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