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二叉搜索树
「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
- 对于根节点，左子树中所有节点的值
<根节点的值<右子树中所有节点的值。 - 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件
1.。
二叉搜索树的操作
查找节点
给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系
- 若
cur.val < num，说明目标节点在cur的右子树中，因此执行cur = cur.right。 - 若
cur.val > num，说明目标节点在cur的左子树中，因此执行cur = cur.left。 - 若
cur.val = num，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
插入节点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
- 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和
num的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至\text{None}）时跳出循环。 - 在该位置插入节点：初始化节点
num，将该节点置于\text{None}的位置。
二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
为了插入节点，我们需要利用辅助节点 pre 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 \text{None} 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
与查找节点相同，插入节点使用 O(\log n) 时间。
删除节点
与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：
当待删除节点的度为 0 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。
当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左 < 根 < 右”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。假设我们选择右子树的最小节点（或者称为中序遍历的下个节点），则删除操作为：
- 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为
tmp。 - 将
tmp的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点tmp。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
删除节点操作同样使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除节点需要 O(\log n) 时间，获取中序遍历后继节点需要 O(\log n) 时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{remove}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{remove}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{removeNode}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
排序
我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 \rightarrow 根 \rightarrow 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，无需额外排序，非常高效。
二叉搜索树的效率
给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。
观察可知，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
| 无序数组 | 二叉搜索树 | |
|---|---|---|
| 查找元素 | O(n) |
O(\log n) |
| 插入元素 | O(1) |
O(\log n) |
| 删除元素 | O(n) |
O(\log n) |
在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 \log n 轮循环内查找任意节点。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 O(n) 。
二叉搜索树常见应用
- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流，以保持其有序状态。