hello-algo/chapter_heap/top_k.md

comments
true

8.3.   Top-K 问题

!!! question

给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

8.3.1.   方法一：遍历选择

我们可以进行 k 轮遍历，分别在每轮中提取第 1 , 2 , \cdots , k 大的元素，时间复杂度为 O(nk) 。

该方法只适用于 k \ll n 的情况，因为当 k 与 n 比较接近时，其时间复杂度趋向于 O(n^2) ，非常耗时。

Fig. 遍历寻找最大的 k 个元素

!!! tip

当 $k = n$ 时，我们可以得到从大到小的序列，等价于「选择排序」算法。 

8.3.2.   方法二：排序

我们可以对数组 nums 进行排序，并返回最右边的 k 个元素，时间复杂度为 O(n \log n) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 k 个元素即可，而不需要排序其他元素。

Fig. 排序寻找最大的 k 个元素

8.3.3.   方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下：

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小；
2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆；
3. 从第 k + 1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆；
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 k 个元素；

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

总共执行了 n 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 k ，因此时间复杂度为 O(n \log k) 。该方法的效率很高，当 k 较小时，时间复杂度趋向 O(n) ；当 k 较大时，时间复杂度不会超过 O(n \log n) 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 k 个元素的动态更新。

=== "Java"

```java title="top_k.java"
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.add(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.add(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}
```

=== "C++"

```cpp title="top_k.cpp"
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.push(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.top()) {
            heap.pop();
            heap.push(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}
```

=== "Python"

```python title="top_k.py"
def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
    """基于堆查找数组中最大的 k 个元素"""
    heap = []
    # 将数组的前 k 个元素入堆
    for i in range(k):
        heapq.heappush(heap, nums[i])
    # 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for i in range(k, len(nums)):
        # 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if nums[i] > heap[0]:
            heapq.heappop(heap)
            heapq.heappush(heap, nums[i])
    return heap
```

=== "Go"

```go title="top_k.go"
[class]{maxHeap}-[func]{topKHeap}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="top_k.js"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="top_k.ts"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```

=== "C"

```c title="top_k.c"
[class]{maxHeap}-[func]{topKHeap}
```

=== "C#"

```csharp title="top_k.cs"
[class]{top_k}-[func]{topKHeap}
```

=== "Swift"

```swift title="top_k.swift"
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] {
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    var heap = Array(nums.prefix(k))
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for i in stride(from: k, to: nums.count, by: 1) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if nums[i] > heap.first! {
            heap.removeFirst()
            heap.insert(nums[i], at: 0)
        }
    }
    return heap
}
```

=== "Zig"

```zig title="top_k.zig"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```

=== "Dart"

```dart title="top_k.dart"
[class]{}-[func]{top_k_heap}
```