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哈希冲突

上节提到，通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此哈希冲突是不可避免的。例如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们换一种思路：

1. 改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作。
2. 仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括链式地址和开放寻址。

链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 Separate Chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。

链式地址下，哈希表的操作方法包括：

• 查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
• 添加元素：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
• 删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

该方法存在一些局限性，包括：

• 占用空间增大，由于链表或二叉树包含节点指针，相比数组更加耗费内存空间；
• 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；

以下给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意：

• 为了使得代码尽量简短，我们使用列表（动态数组）代替链表。换句话说，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
• 以下代码实现了哈希表扩容方法。具体来看，当负载因子超过 0.75 时，我们将哈希表扩容至 2 倍。

=== "Java"

```java title="hash_map_chaining.java"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Python"

```python title="hash_map_chaining.py"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="hash_map_chaining.go"
[class]{pair}-[func]{}

[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="hash_map_chaining.js"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="hash_map_chaining.ts"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="hash_map_chaining.c"
[class]{pair}-[func]{}

[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="hash_map_chaining.cs"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="hash_map_chaining.swift"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="hash_map_chaining.zig"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Dart"

```dart title="hash_map_chaining.dart"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

!!! tip

为了提高效率，**我们可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

开放寻址

「开放寻址 Open Addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希。

线性探测

线性探测采用固定步长的线性查找来进行探测，对应的哈希表操作方法为：

• 插入元素：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1 ），直至找到空位，将元素插入其中。
• 查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；或者若遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 \text{None} 。

然而，线性探测存在以下缺陷：

• 不能直接删除元素。删除元素会在数组内产生一个空位，查找其他元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。因此，需要借助一个标志位来标记已删除元素。
• 容易产生聚集。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率降低。

如以下代码所示，为开放寻址（线性探测）哈希表的简单实现，重点包括：

• 我们使用一个固定的键值对实例 removed 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶为 \text{None} 或 removed 时，这个桶都是空的，可用于放置键值对。
• 被标记为已删除的空间是可以再次被使用的。当插入元素时，若通过哈希函数找到了被标记为已删除的索引，则可将该元素放置到该索引。
• 在线性探测时，我们从当前索引 index 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。

=== "Java"

```java title="hash_map_open_addressing.java"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="hash_map_open_addressing.cpp"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "Python"

```python title="hash_map_open_addressing.py"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="hash_map_open_addressing.go"
[class]{pair}-[func]{}

[class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="hash_map_open_addressing.js"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="hash_map_open_addressing.ts"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="hash_map_open_addressing.c"
[class]{pair}-[func]{}

[class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="hash_map_open_addressing.cs"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="hash_map_open_addressing.swift"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="hash_map_open_addressing.zig"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

=== "Dart"

```dart title="hash_map_open_addressing.dart"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```

多次哈希

顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 f_1(x) , f_2(x) , f_3(x) , \cdots 进行探测。

• 插入元素：若哈希函数 f_1(x) 出现冲突，则尝试 f_2(x) ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
• 查找元素：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 \text{None} 。

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。

!!! note "编程语言的选择"

Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。

Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。

Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。