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comments: true
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# 9.3. 图的遍历
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!!! note "图与树的关系"
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树代表的是“一对多”的关系,而图则自由度更高,可以代表任意“多对多”关系。本质上,**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然,树遍历操作也是图遍历操作的一个特例,两者的方法是非常类似的,建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
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「图」与「树」都是非线性数据结构,都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
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类似地,图的遍历方式也分为两种,即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」,也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」,简称为 BFS 和 DFS 。
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## 9.3.1. 广度优先遍历
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**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式,从距离最近的顶点开始访问,并一层层向外扩张**。具体地,从某个顶点出发,先遍历该顶点的所有邻接顶点,随后遍历下个顶点的所有邻接顶点,以此类推……
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![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
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<p align="center"> Fig. 图的广度优先遍历 </p>
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### 算法实现
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BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质,这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
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1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列,并开启循环;
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2. 在循环的每轮迭代中,弹出队首顶点弹出并记录访问,并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部;
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3. 循环 `2.` ,直到所有顶点访问完成后结束;
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为了防止重复遍历顶点,我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
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=== "Java"
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```java title="graph_bfs.java"
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/* 广度优先遍历 BFS */
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// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
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List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
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// 顶点遍历序列
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List<Vertex> res = new ArrayList<>();
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// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
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Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
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// 队列用于实现 BFS
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Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
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// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
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while (!que.isEmpty()) {
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Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
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res.add(vet); // 记录访问顶点
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// 遍历该顶点的所有邻接顶点
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for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
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if (visited.contains(adjVet))
|
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continue; // 跳过已被访问过的顶点
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que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
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||
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
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}
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}
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// 返回顶点遍历序列
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return res;
|
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="graph_bfs.cpp"
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[class]{}-[func]{graphBFS}
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```
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=== "Python"
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```python title="graph_bfs.py"
|
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""" 广度优先遍历 BFS """
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# 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
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||
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> List[Vertex]:
|
||
# 顶点遍历序列
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res = []
|
||
# 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
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visited = set([start_vet])
|
||
# 队列用于实现 BFS
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que = collections.deque([start_vet])
|
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# 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
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while len(que) > 0:
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vet = que.popleft() # 队首顶点出队
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||
res.append(vet) # 记录访问顶点
|
||
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
|
||
if adj_vet in visited:
|
||
continue # 跳过已被访问过的顶点
|
||
que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点
|
||
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
|
||
# 返回顶点遍历序列
|
||
return res
|
||
```
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=== "Go"
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```go title="graph_bfs.go"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
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||
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||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="graph_bfs.js"
|
||
/* 广度优先遍历 BFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
function graphBFS(graph, startVet) {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
const res = [];
|
||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
const visited = new Set();
|
||
visited.add(startVet);
|
||
// 队列用于实现 BFS
|
||
const que = [startVet];
|
||
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
|
||
while (que.length) {
|
||
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
|
||
res.push(vet); // 记录访问顶点
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
|
||
if (visited.has(adjVet)) {
|
||
continue; // 跳过已被访问过的顶点
|
||
}
|
||
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
|
||
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
|
||
}
|
||
}
|
||
// 返回顶点遍历序列
|
||
return res;
|
||
}
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```
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=== "TypeScript"
|
||
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```typescript title="graph_bfs.ts"
|
||
/* 广度优先遍历 BFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
const res: Vertex[] = [];
|
||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
const visited: Set<Vertex> = new Set();
|
||
visited.add(startVet);
|
||
// 队列用于实现 BFS
|
||
const que = [startVet];
|
||
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
|
||
while (que.length) {
|
||
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
|
||
res.push(vet); // 记录访问顶点
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
|
||
if (visited.has(adjVet)) {
|
||
continue; // 跳过已被访问过的顶点
|
||
}
|
||
que.push(adjVet); // 只入队未访问
|
||
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
|
||
}
|
||
}
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||
// 返回顶点遍历序列
|
||
return res;
|
||
}
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||
```
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=== "C"
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```c title="graph_bfs.c"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
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=== "C#"
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||
|
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```csharp title="graph_bfs.cs"
|
||
[class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
|
||
```
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=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="graph_bfs.swift"
|
||
/* 广度优先遍历 BFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
var res: [Vertex] = []
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||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
var visited: Set<Vertex> = [startVet]
|
||
// 队列用于实现 BFS
|
||
var que: [Vertex] = [startVet]
|
||
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
|
||
while !que.isEmpty {
|
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let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
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||
res.append(vet) // 记录访问顶点
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
|
||
if visited.contains(adjVet) {
|
||
continue // 跳过已被访问过的顶点
|
||
}
|
||
que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
|
||
visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
|
||
}
|
||
}
|
||
// 返回顶点遍历序列
|
||
return res
|
||
}
|
||
```
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=== "Zig"
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```zig title="graph_bfs.zig"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
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```
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代码相对抽象,建议对照以下动画图示来加深理解。
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=== "<1>"
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![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
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=== "<2>"
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![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png)
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=== "<3>"
|
||
![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png)
|
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||
=== "<4>"
|
||
![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png)
|
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=== "<5>"
|
||
![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png)
|
||
|
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=== "<6>"
|
||
![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png)
|
||
|
||
=== "<7>"
|
||
![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png)
|
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=== "<8>"
|
||
![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png)
|
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=== "<9>"
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||
![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png)
|
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=== "<10>"
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![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png)
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=== "<11>"
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![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)
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!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一?"
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不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”,**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例,顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
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### 复杂度分析
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**时间复杂度:** 所有顶点都会入队、出队一次,使用 $O(|V|)$ 时间;在遍历邻接顶点的过程中,由于是无向图,因此所有边都会被访问 $2$ 次,使用 $O(2|E|)$ 时间;总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
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**空间复杂度:** 列表 `res` ,哈希表 `visited` ,队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ,使用 $O(|V|)$ 空间。
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## 9.3.2. 深度优先遍历
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**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地,从某个顶点出发,不断地访问当前结点的某个邻接顶点,直到走到尽头时回溯,再继续走到底 + 回溯,以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
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||
![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
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<p align="center"> Fig. 图的深度优先遍历 </p>
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### 算法实现
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这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似,在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点,以避免重复访问顶点。
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=== "Java"
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||
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```java title="graph_dfs.java"
|
||
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
|
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void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
|
||
res.add(vet); // 记录访问顶点
|
||
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
|
||
if (visited.contains(adjVet))
|
||
continue; // 跳过已被访问过的顶点
|
||
// 递归访问邻接顶点
|
||
dfs(graph, visited, res, adjVet);
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 深度优先遍历 DFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
|
||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
|
||
dfs(graph, visited, res, startVet);
|
||
return res;
|
||
}
|
||
```
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=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="graph_dfs.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="graph_dfs.py"
|
||
""" 深度优先遍历 DFS 辅助函数 """
|
||
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: Set[Vertex], res: List[Vertex], vet: Vertex):
|
||
res.append(vet) # 记录访问顶点
|
||
visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
|
||
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
|
||
if adjVet in visited:
|
||
continue # 跳过已被访问过的顶点
|
||
# 递归访问邻接顶点
|
||
dfs(graph, visited, res, adjVet)
|
||
|
||
""" 深度优先遍历 DFS """
|
||
# 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> List[Vertex]:
|
||
# 顶点遍历序列
|
||
res = []
|
||
# 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
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visited = set()
|
||
dfs(graph, visited, res, start_vet)
|
||
return res
|
||
```
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||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="graph_dfs.go"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="graph_dfs.js"
|
||
/* 深度优先遍历 DFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
function dfs(graph, visited, res, vet) {
|
||
res.push(vet); // 记录访问顶点
|
||
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
|
||
if (visited.has(adjVet)) {
|
||
continue; // 跳过已被访问过的顶点
|
||
}
|
||
// 递归访问邻接顶点
|
||
dfs(graph, visited, res, adjVet);
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 深度优先遍历 DFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
function graphDFS(graph, startVet) {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
const res = [];
|
||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
const visited = new Set();
|
||
dfs(graph, visited, res, startVet);
|
||
return res;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="graph_dfs.ts"
|
||
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
|
||
function dfs(graph: GraphAdjList, visited: Set<Vertex>, res: Vertex[], vet: Vertex): void {
|
||
res.push(vet); // 记录访问顶点
|
||
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
|
||
if (visited.has(adjVet)) {
|
||
continue; // 跳过已被访问过的顶点
|
||
}
|
||
// 递归访问邻接顶点
|
||
dfs(graph, visited, res, adjVet);
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 深度优先遍历 DFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
const res: Vertex[] = [];
|
||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
const visited: Set<Vertex> = new Set();
|
||
dfs(graph, visited, res, startVet);
|
||
return res;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="graph_dfs.c"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="graph_dfs.cs"
|
||
[class]{graph_dfs}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="graph_dfs.swift"
|
||
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
|
||
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
|
||
res.append(vet) // 记录访问顶点
|
||
visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
|
||
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
|
||
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
|
||
if visited.contains(adjVet) {
|
||
continue // 跳过已被访问过的顶点
|
||
}
|
||
// 递归访问邻接顶点
|
||
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 深度优先遍历 DFS */
|
||
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
|
||
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
|
||
// 顶点遍历序列
|
||
var res: [Vertex] = []
|
||
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
|
||
var visited: Set<Vertex> = []
|
||
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
|
||
return res
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="graph_dfs.zig"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
深度优先遍历的算法流程如下图所示,其中
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|
||
- **直虚线代表向下递推**,代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点;
|
||
- **曲虚线代表向上回溯**,代表此递归方法已经返回,回溯到了开启此递归方法的位置;
|
||
|
||
为了加深理解,请你将图示与代码结合起来,在脑中(或者用笔画下来)模拟整个 DFS 过程,包括每个递归方法何时开启、何时返回。
|
||
|
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=== "<1>"
|
||
![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)
|
||
|
||
=== "<2>"
|
||
![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png)
|
||
|
||
=== "<3>"
|
||
![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png)
|
||
|
||
=== "<4>"
|
||
![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png)
|
||
|
||
=== "<5>"
|
||
![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png)
|
||
|
||
=== "<6>"
|
||
![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png)
|
||
|
||
=== "<7>"
|
||
![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png)
|
||
|
||
=== "<8>"
|
||
![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png)
|
||
|
||
=== "<9>"
|
||
![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png)
|
||
|
||
=== "<10>"
|
||
![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png)
|
||
|
||
=== "<11>"
|
||
![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)
|
||
|
||
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一?"
|
||
|
||
与广度优先遍历类似,深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点,先往哪个方向探索都行,都是深度优先遍历。
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以树的遍历为例,“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历,体现三种不同的遍历优先级,而三者都属于深度优先遍历。
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### 复杂度分析
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**时间复杂度:** 所有顶点都被访问一次;所有边都被访问了 $2$ 次,使用 $O(2|E|)$ 时间;总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
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**空间复杂度:** 列表 `res` ,哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ,递归深度最大为 $|V|$ ,因此使用 $O(|V|)$ 空间。
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