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最大容量問題

!!! question

輸入一個陣列 $ht$ ，其中的每個元素代表一個垂直隔板的高度。陣列中的任意兩個隔板，以及它們之間的空間可以組成一個容器。

容器的容量等於高度和寬度的乘積（面積），其中高度由較短的隔板決定，寬度是兩個隔板的陣列索引之差。

請在陣列中選擇兩個隔板，使得組成的容器的容量最大，返回最大容量。示例如下圖所示。

容器由任意兩個隔板圍成，因此本題的狀態為兩個隔板的索引，記為 $[i, j]$ 。

根據題意，容量等於高度乘以寬度，其中高度由短板決定，寬度是兩隔板的陣列索引之差。設容量為 cap[i, j] ，則可得計算公式：

$$ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)

設陣列長度為 n ，兩個隔板的組合數量（狀態總數）為 C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2} 個。最直接地，我們可以窮舉所有狀態，從而求得最大容量，時間複雜度為 O(n^2) 。

貪婪策略確定

這道題還有更高效率的解法。如下圖所示，現選取一個狀態 [i, j] ，其滿足索引 i < j 且高度 ht[i] < ht[j] ，即 i 為短板、j 為長板。

如下圖所示，若此時將長板 j 向短板 i 靠近，則容量一定變小。

這是因為在移動長板 j 後，寬度 j-i 肯定變小；而高度由短板決定，因此高度只可能不變（ i 仍為短板）或變小（移動後的 j 成為短板）。

反向思考，我們只有向內收縮短板 i ，才有可能使容量變大。因為雖然寬度一定變小，但高度可能會變大（移動後的短板 i 可能會變長）。例如在下圖中，移動短板後面積變大。

由此便可推出本題的貪婪策略：初始化兩指標，使其分列容器兩端，每輪向內收縮短板對應的指標，直至兩指標相遇。

下圖展示了貪婪策略的執行過程。

1. 初始狀態下，指標 i 和 j 分列陣列兩端。
2. 計算當前狀態的容量 cap[i, j] ，並更新最大容量。
3. 比較板 i 和 板 j 的高度，並將短板向內移動一格。
4. 迴圈執行第 2. 步和第 3. 步，直至 i 和 j 相遇時結束。

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程式碼實現

程式碼迴圈最多 n 輪，因此時間複雜度為 $O(n)$ 。

變數 $i$、$j$、res 使用常數大小的額外空間，因此空間複雜度為 $O(1)$ 。

[file]{max_capacity}-[class]{}-[func]{max_capacity}

正確性證明

之所以貪婪比窮舉更快，是因為每輪的貪婪選擇都會“跳過”一些狀態。

比如在狀態 cap[i, j] 下，i 為短板、j 為長板。若貪婪地將短板 i 向內移動一格，會導致下圖所示的狀態被“跳過”。這意味著之後無法驗證這些狀態的容量大小。

$$ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]

觀察發現，這些被跳過的狀態實際上就是將長板 j 向內移動的所有狀態。前面我們已經證明內移長板一定會導致容量變小。也就是說，被跳過的狀態都不可能是最優解，跳過它們不會導致錯過最優解。

以上分析說明，移動短板的操作是“安全”的，貪婪策略是有效的。