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全排列問題

全排列問題是回溯演算法的一個典型應用。它的定義是在給定一個集合（如一個陣列或字串）的情況下，找出其中元素的所有可能的排列。

下表列舉了幾個示例資料，包括輸入陣列和對應的所有排列。

表   全排列示例

輸入陣列	所有排列
[1]	[1]
[1, 2]	[1, 2], [2, 1]
[1, 2, 3]	[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]

無相等元素的情況

!!! question

輸入一個整數陣列，其中不包含重複元素，返回所有可能的排列。

從回溯演算法的角度看，我們可以把生成排列的過程想象成一系列選擇的結果。假設輸入陣列為 [1, 2, 3] ，如果我們先選擇 1 ，再選擇 3 ，最後選擇 2 ，則獲得排列 [1, 3, 2] 。回退表示撤銷一個選擇，之後繼續嘗試其他選擇。

從回溯程式碼的角度看，候選集合 choices 是輸入陣列中的所有元素，狀態 state 是直至目前已被選擇的元素。請注意，每個元素只允許被選擇一次，因此 state 中的所有元素都應該是唯一的。

如下圖所示，我們可以將搜尋過程展開成一棵遞迴樹，樹中的每個節點代表當前狀態 state 。從根節點開始，經過三輪選擇後到達葉節點，每個葉節點都對應一個排列。

重複選擇剪枝

為了實現每個元素只被選擇一次，我們考慮引入一個布林型陣列 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被選擇，並基於它實現以下剪枝操作。

• 在做出選擇 choice[i] 後，我們就將 selected[i] 賦值為 \text{True} ，代表它已被選擇。
• 走訪選擇串列 choices 時，跳過所有已被選擇的節點，即剪枝。

如下圖所示，假設我們第一輪選擇 1 ，第二輪選擇 3 ，第三輪選擇 2 ，則需要在第二輪剪掉元素 1 的分支，在第三輪剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

觀察上圖發現，該剪枝操作將搜尋空間大小從 O(n^n) 減小至 O(n!) 。

程式碼實現

想清楚以上資訊之後，我們就可以在框架程式碼中做“完形填空”了。為了縮短整體程式碼，我們不單獨實現框架程式碼中的各個函式，而是將它們展開在 backtrack() 函式中：

[file]{permutations_i}-[class]{}-[func]{permutations_i}

考慮相等元素的情況

!!! question

輸入一個整數陣列，**陣列中可能包含重複元素**，返回所有不重複的排列。

假設輸入陣列為 [1, 1, 2] 。為了方便區分兩個重複元素 1 ，我們將第二個 1 記為 \hat{1} 。

如下圖所示，上述方法生成的排列有一半是重複的。

那麼如何去除重複的排列呢？最直接地，考慮藉助一個雜湊表，直接對排列結果進行去重。然而這樣做不夠優雅，因為生成重複排列的搜尋分支沒有必要，應當提前識別並剪枝，這樣可以進一步提升演算法效率。

相等元素剪枝

觀察下圖，在第一輪中，選擇 1 或選擇 \hat{1} 是等價的，在這兩個選擇之下生成的所有排列都是重複的。因此應該把 \hat{1} 剪枝。

同理，在第一輪選擇 2 之後，第二輪選擇中的 1 和 \hat{1} 也會產生重複分支，因此也應將第二輪的 \hat{1} 剪枝。

從本質上看，我們的目標是在某一輪選擇中，保證多個相等的元素僅被選擇一次。

程式碼實現

在上一題的程式碼的基礎上，我們考慮在每一輪選擇中開啟一個雜湊表 duplicated ，用於記錄該輪中已經嘗試過的元素，並將重複元素剪枝：

[file]{permutations_ii}-[class]{}-[func]{permutations_ii}

假設元素兩兩之間互不相同，則 n 個元素共有 n! 種排列（階乘）；在記錄結果時，需要複製長度為 n 的串列，使用 O(n) 時間。因此時間複雜度為 $O(n!n)$ 。

最大遞迴深度為 n ，使用 O(n) 堆疊幀空間。selected 使用 O(n) 空間。同一時刻最多共有 n 個 duplicated ，使用 O(n^2) 空間。因此空間複雜度為 $O(n^2)$ 。

兩種剪枝對比

請注意，雖然 selected 和 duplicated 都用於剪枝，但兩者的目標不同。

• 重複選擇剪枝：整個搜尋過程中只有一個 selected 。它記錄的是當前狀態中包含哪些元素，其作用是避免某個元素在 state 中重複出現。
• 相等元素剪枝：每輪選擇（每個呼叫的 backtrack 函式）都包含一個 duplicated 。它記錄的是在本輪走訪（for 迴圈）中哪些元素已被選擇過，其作用是保證相等元素只被選擇一次。

下圖展示了兩個剪枝條件的生效範圍。注意，樹中的每個節點代表一個選擇，從根節點到葉節點的路徑上的各個節點構成一個排列。