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# 哈希表
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哈希表通过建立「键 key」与「值 value」之间的映射，实现高效的元素查询。具体而言，我们向哈希表输入一个 key，则可以在 $O(1)$ 时间内获取对应的 value 。
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以一个包含 $n$ 个学生的数据库为例，每个学生都有“姓名 `name`”和“学号 `id`”两项数据。假如我们希望实现查询功能，例如“输入一个学号，返回对应的姓名”，则可以采用哈希表来实现。
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除哈希表外，我们还可以使用数组或链表实现元素查询，其中：
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- 查询元素需要遍历所有元素，使用 $O(n)$ 时间；
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- 添加元素仅需添加至尾部即可，使用 $O(1)$ 时间；
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- 删除元素需要先查询再删除，使用 $O(n)$ 时间；
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然而，在哈希表中进行增删查的时间复杂度都是 $O(1)$ 。哈希表全面胜出！因此，哈希表常用于对查找效率要求较高的场景。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 数组 | 链表 | 哈希表 |
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| -------- | ------ | ------ | ------ |
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| 查找元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(1)$ |
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| 添加元素 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 删除元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(1)$ |
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</div>
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## 哈希表常用操作
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哈希表的基本操作包括 **初始化、查询操作、添加与删除键值对**。
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=== "Java"
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```java title="hash_map.java"
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/* 初始化哈希表 */
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Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
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/* 添加操作 */
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// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
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map.put(12836, "小哈");
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map.put(15937, "小啰");
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map.put(16750, "小算");
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map.put(13276, "小法");
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||
map.put(10583, "小鸭");
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/* 查询操作 */
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// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
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String name = map.get(15937);
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||
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||
/* 删除操作 */
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// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.remove(10583);
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```
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=== "C++"
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```cpp title="hash_map.cpp"
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/* 初始化哈希表 */
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unordered_map<int, string> map;
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||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
map[12836] = "小哈";
|
||
map[15937] = "小啰";
|
||
map[16750] = "小算";
|
||
map[13276] = "小法";
|
||
map[10583] = "小鸭";
|
||
|
||
/* 查询操作 */
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||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||
string name = map[15937];
|
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|
||
/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.erase(10583);
|
||
```
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=== "Python"
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```python title="hash_map.py"
|
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# 初始化哈希表
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mapp: Dict = {}
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# 添加操作
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# 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
mapp[12836] = "小哈"
|
||
mapp[15937] = "小啰"
|
||
mapp[16750] = "小算"
|
||
mapp[13276] = "小法"
|
||
mapp[10583] = "小鸭"
|
||
|
||
# 查询操作
|
||
# 向哈希表输入键 key ，得到值 value
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name: str = mapp[15937]
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|
||
# 删除操作
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||
# 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
mapp.pop(10583)
|
||
```
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=== "Go"
|
||
|
||
```go title="hash_map.go"
|
||
/* 初始化哈希表 */
|
||
mapp := make(map[int]string)
|
||
|
||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
mapp[12836] = "小哈"
|
||
mapp[15937] = "小啰"
|
||
mapp[16750] = "小算"
|
||
mapp[13276] = "小法"
|
||
mapp[10583] = "小鸭"
|
||
|
||
/* 查询操作 */
|
||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||
name := mapp[15937]
|
||
|
||
/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
delete(mapp, 10583)
|
||
```
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||
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||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="hash_map.js"
|
||
/* 初始化哈希表 */
|
||
const map = new ArrayHashMap();
|
||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
map.set(12836, '小哈');
|
||
map.set(15937, '小啰');
|
||
map.set(16750, '小算');
|
||
map.set(13276, '小法');
|
||
map.set(10583, '小鸭');
|
||
|
||
/* 查询操作 */
|
||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||
let name = map.get(15937);
|
||
|
||
/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.delete(10583);
|
||
```
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||
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=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="hash_map.ts"
|
||
/* 初始化哈希表 */
|
||
const map = new Map<number, string>();
|
||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
map.set(12836, '小哈');
|
||
map.set(15937, '小啰');
|
||
map.set(16750, '小算');
|
||
map.set(13276, '小法');
|
||
map.set(10583, '小鸭');
|
||
console.info('\n添加完成后，哈希表为\nKey -> Value');
|
||
console.info(map);
|
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|
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/* 查询操作 */
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// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
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let name = map.get(15937);
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console.info('\n输入学号 15937 ，查询到姓名 ' + name);
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/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.delete(10583);
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||
console.info('\n删除 10583 后，哈希表为\nKey -> Value');
|
||
console.info(map);
|
||
```
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=== "C"
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||
|
||
```c title="hash_map.c"
|
||
// C 未提供内置哈希表
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```
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=== "C#"
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||
|
||
```csharp title="hash_map.cs"
|
||
/* 初始化哈希表 */
|
||
Dictionary<int, String> map = new ();
|
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||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
map.Add(12836, "小哈");
|
||
map.Add(15937, "小啰");
|
||
map.Add(16750, "小算");
|
||
map.Add(13276, "小法");
|
||
map.Add(10583, "小鸭");
|
||
|
||
/* 查询操作 */
|
||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||
String name = map[15937];
|
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|
||
/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.Remove(10583);
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||
```
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||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="hash_map.swift"
|
||
/* 初始化哈希表 */
|
||
var map: [Int: String] = [:]
|
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|
||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
map[12836] = "小哈"
|
||
map[15937] = "小啰"
|
||
map[16750] = "小算"
|
||
map[13276] = "小法"
|
||
map[10583] = "小鸭"
|
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|
||
/* 查询操作 */
|
||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||
let name = map[15937]!
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|
||
/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.removeValue(forKey: 10583)
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```
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=== "Zig"
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||
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||
```zig title="hash_map.zig"
|
||
|
||
```
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||
=== "Dart"
|
||
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||
```dart title="hash_map.dart"
|
||
/* 初始化哈希表 */
|
||
Map<int, String> map = {};
|
||
|
||
/* 添加操作 */
|
||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||
map[12836] = "小哈";
|
||
map[15937] = "小啰";
|
||
map[16750] = "小算";
|
||
map[13276] = "小法";
|
||
map[10583] = "小鸭";
|
||
|
||
/* 查询操作 */
|
||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||
String name = map[15937];
|
||
|
||
/* 删除操作 */
|
||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||
map.remove(10583);
|
||
```
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||
遍历哈希表有三种方式，即 **遍历键值对、遍历键、遍历值**。
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=== "Java"
|
||
|
||
```java title="hash_map.java"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
// 遍历键值对 key->value
|
||
for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
|
||
System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
|
||
}
|
||
// 单独遍历键 key
|
||
for (int key: map.keySet()) {
|
||
System.out.println(key);
|
||
}
|
||
// 单独遍历值 value
|
||
for (String val: map.values()) {
|
||
System.out.println(val);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="hash_map.cpp"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
// 遍历键值对 key->value
|
||
for (auto kv: map) {
|
||
cout << kv.first << " -> " << kv.second << endl;
|
||
}
|
||
// 单独遍历键 key
|
||
for (auto key: map) {
|
||
cout << key.first << endl;
|
||
}
|
||
// 单独遍历值 value
|
||
for (auto val: map) {
|
||
cout << val.second << endl;
|
||
}
|
||
```
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|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="hash_map.py"
|
||
# 遍历哈希表
|
||
# 遍历键值对 key->value
|
||
for key, value in mapp.items():
|
||
print(key, "->", value)
|
||
# 单独遍历键 key
|
||
for key in mapp.keys():
|
||
print(key)
|
||
# 单独遍历值 value
|
||
for value in mapp.values():
|
||
print(value)
|
||
```
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||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="hash_map_test.go"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
// 遍历键值对 key->value
|
||
for key, value := range mapp {
|
||
fmt.Println(key, "->", value)
|
||
}
|
||
// 单独遍历键 key
|
||
for key := range mapp {
|
||
fmt.Println(key)
|
||
}
|
||
// 单独遍历值 value
|
||
for _, value := range mapp {
|
||
fmt.Println(value)
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="hash_map.js"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
console.info('\n遍历键值对 Key->Value');
|
||
for (const [k, v] of map.entries()) {
|
||
console.info(k + ' -> ' + v);
|
||
}
|
||
console.info('\n单独遍历键 Key');
|
||
for (const k of map.keys()) {
|
||
console.info(k);
|
||
}
|
||
console.info('\n单独遍历值 Value');
|
||
for (const v of map.values()) {
|
||
console.info(v);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="hash_map.ts"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
console.info('\n遍历键值对 Key->Value');
|
||
for (const [k, v] of map.entries()) {
|
||
console.info(k + ' -> ' + v);
|
||
}
|
||
console.info('\n单独遍历键 Key');
|
||
for (const k of map.keys()) {
|
||
console.info(k);
|
||
}
|
||
console.info('\n单独遍历值 Value');
|
||
for (const v of map.values()) {
|
||
console.info(v);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="hash_map.c"
|
||
// C 未提供内置哈希表
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="hash_map.cs"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
// 遍历键值对 Key->Value
|
||
foreach (var kv in map)
|
||
{
|
||
Console.WriteLine(kv.Key + " -> " + kv.Value);
|
||
}
|
||
// 单独遍历键 key
|
||
foreach (int key in map.Keys)
|
||
{
|
||
Console.WriteLine(key);
|
||
}
|
||
// 单独遍历值 value
|
||
foreach (String val in map.Values)
|
||
{
|
||
Console.WriteLine(val);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="hash_map.swift"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
// 遍历键值对 Key->Value
|
||
for (key, value) in map {
|
||
print("\(key) -> \(value)")
|
||
}
|
||
// 单独遍历键 Key
|
||
for key in map.keys {
|
||
print(key)
|
||
}
|
||
// 单独遍历值 Value
|
||
for value in map.values {
|
||
print(value)
|
||
}
|
||
```
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||
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=== "Zig"
|
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|
||
```zig title="hash_map.zig"
|
||
|
||
```
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||
|
||
=== "Dart"
|
||
|
||
```dart title="hash_map.dart"
|
||
/* 遍历哈希表 */
|
||
// 遍历键值对 Key->Value
|
||
map.forEach((key, value) {
|
||
print('$key -> $value');
|
||
});
|
||
|
||
// 单独遍历键 Key
|
||
map.keys.forEach((key) {
|
||
print(key);
|
||
});
|
||
|
||
// 单独遍历值 Value
|
||
map.values.forEach((value) {
|
||
print(value);
|
||
});
|
||
```
|
||
|
||
## 哈希函数
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||
哈希表的底层实现为数组，同时可能包含链表、二叉树（红黑树）等数据结构，以提高查询性能（将在下节讨论）。
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首先考虑最简单的情况，**仅使用一个数组来实现哈希表**。通常，我们将数组中的每个空位称为「桶 Bucket」，用于存储键值对。
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||
我们将键值对 key, value 封装成一个类 `Pair` ，并将所有 `Pair` 放入数组中。这样，数组中的每个 `Pair` 都具有唯一的索引。为了建立 key 和索引之间的映射关系，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。
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设哈希表的数组为 `buckets` ，哈希函数为 `f(x)` ，那么查询操作的步骤如下：
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1. 输入 `key` ，通过哈希函数计算出索引 `index` ，即 `index = f(key)` ；
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2. 通过索引在数组中访问到键值对 `pair` ，即 `pair = buckets[index]` ，然后从 `pair` 中获取对应的 `value` ；
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以学生数据 `key 学号 -> value 姓名` 为例，我们可以设计如下哈希函数：
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$$
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f(x) = x \bmod {100}
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$$
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其中 $\bmod$ 表示取余运算。
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|
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=== "Java"
|
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|
||
```java title="array_hash_map.java"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
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=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="array_hash_map.cpp"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="array_hash_map.py"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="array_hash_map.go"
|
||
[class]{pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{arrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="array_hash_map.js"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="array_hash_map.ts"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="array_hash_map.c"
|
||
[class]{pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{arrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="array_hash_map.cs"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="array_hash_map.swift"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="array_hash_map.zig"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Dart"
|
||
|
||
```dart title="array_hash_map.dart"
|
||
[class]{Pair}-[func]{}
|
||
|
||
[class]{ArrayHashMap}-[func]{}
|
||
```
|
||
|
||
## 哈希冲突
|
||
|
||
细心的你可能已经注意到，**在某些情况下，哈希函数 $f(x) = x \bmod 100$ 可能无法正常工作**。具体来说，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也会相同，从而指向同一个 value 。例如，查询学号为 $12836$ 和 $20336$ 的两个学生时，我们得到：
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||
$$
|
||
f(12836) = f(20336) = 36
|
||
$$
|
||
|
||
这两个学号指向了同一个姓名，这显然是错误的。我们把这种情况称为「哈希冲突 Hash Collision」。在后续章节中，我们将讨论如何解决哈希冲突的问题。
|
||
|
||
|
||
|
||
综上所述，一个优秀的哈希函数应具备以下特性：
|
||
|
||
- 尽可能减少哈希冲突的发生；
|
||
- 查询效率高且稳定，能够在绝大多数情况下达到 $O(1)$ 时间复杂度；
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- 较高的空间利用率，即使“键值对占用空间 / 哈希表总占用空间”比例最大化；
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