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krahets 5a2a03416f Update the section of hash collision.

2023-06-14 03:58:39 +08:00

9.2 KiB

Raw Blame History

哈希冲突

在理想情况下，哈希函数为每个输入生成唯一的输出，实现 key 和数组索引的一一对应。但实际上，哈希函数的输入空间通常远大于输出空间，因此多个输入产生相同输出的情况是不可避免的。例如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

这种多个输入对应同一输出索引的现象被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。哈希冲突的解决方法主要有两种：

扩大哈希表容量：哈希表容量越大，键值对聚集的概率就越低。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表等同于数组，每个 key 都对应唯一的数组索引。
优化哈希表结构：常用方法包括链式地址和开放寻址。

哈希表扩容

哈希函数的最后一步通常是对桶数量 n 取余，作用是将哈希值映射到桶索引范围，从而将 key 放入对应的桶中。当哈希表容量越大（即 n 越大）时，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。

因此，当哈希表内的冲突总体较为严重时，编程语言通常通过扩容哈希表来缓解冲突。类似于数组扩容，哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表，开销较大。

编程语言通常使用「负载因子 Load Factor」来衡量哈希冲突的严重程度，定义为哈希表中元素数量除以桶数量，常作为哈希表扩容的触发条件。在 Java 中，当负载因子超过 0.75 时，系统会将 HashMap 容量扩展为原先的 2 倍。

链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 Separate Chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。

链式地址下，哈希表的操作方法包括：

查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
添加元素：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

尽管链式地址法解决了哈希冲突问题，但仍存在一些局限性，包括：

占用空间增大，由于链表或二叉树包含节点指针，相比数组更加耗费内存空间；
查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；

以下给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意：

为了使得代码尽量简短，我们使用列表（动态数组）代替链表。换句话说，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
以下代码实现了哈希表扩容方法。具体来看，当负载因子超过 0.75 时，我们将哈希表扩容至 2 倍。

=== "Java"

```java title="hash_map_chaining.java"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Python"

```python title="hash_map_chaining.py"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="hash_map_chaining.go"
[class]{pair}-[func]{}

[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="hash_map_chaining.js"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="hash_map_chaining.ts"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="hash_map_chaining.c"
[class]{pair}-[func]{}

[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="hash_map_chaining.cs"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="hash_map_chaining.swift"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="hash_map_chaining.zig"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Dart"

```dart title="hash_map_chaining.dart"
[class]{Pair}-[func]{}

[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

!!! tip

为了提高效率，**我们可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

开放寻址

「开放寻址 Open Addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希。

线性探测

线性探测采用固定步长的线性查找来解决哈希冲突。

插入元素：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1 ），直至找到空位，将元素插入其中。
查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；或者若遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 \text{None} 。

然而，线性探测存在以下缺陷：

不能直接删除元素。删除元素会在数组内产生一个空位，查找其他元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。因此，需要借助一个标志位来标记已删除元素。
容易产生聚集。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率降低。

如以下代码所示，为开放寻址（线性探测）哈希表的简单实现，重点包括：

我们使用一个固定的键值对实例 removed 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶为 \text{None} 或 removed 时，这个桶都是空的，可用于放置键值对。
被标记为已删除的空间是可以再次被使用的。当插入元素时，若通过哈希函数找到了被标记为已删除的索引，则可将该元素放置到该索引。
在线性探测时，我们从当前索引 index 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。