mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2024-12-27 18:56:29 +08:00
272 lines
8.1 KiB
Markdown
272 lines
8.1 KiB
Markdown
# 图的遍历
|
||
|
||
!!! note "图与树的关系"
|
||
|
||
树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
|
||
|
||
「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
|
||
|
||
类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。
|
||
|
||
## 广度优先遍历
|
||
|
||
**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
|
||
|
||
|
||
|
||
### 算法实现
|
||
|
||
BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
|
||
|
||
1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环；
|
||
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
|
||
3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束；
|
||
|
||
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="graph_bfs.java"
|
||
[class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="graph_bfs.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="graph_bfs.py"
|
||
[class]{}-[func]{graph_bfs}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="graph_bfs.go"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="graph_bfs.js"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="graph_bfs.ts"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="graph_bfs.c"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="graph_bfs.cs"
|
||
[class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="graph_bfs.swift"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="graph_bfs.zig"
|
||
[class]{}-[func]{graphBFS}
|
||
```
|
||
|
||
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
|
||
|
||
=== "<1>"
|
||
|
||
|
||
=== "<2>"
|
||
|
||
|
||
=== "<3>"
|
||
|
||
|
||
=== "<4>"
|
||
|
||
|
||
=== "<5>"
|
||
|
||
|
||
=== "<6>"
|
||
|
||
|
||
=== "<7>"
|
||
|
||
|
||
=== "<8>"
|
||
|
||
|
||
=== "<9>"
|
||
|
||
|
||
=== "<10>"
|
||
|
||
|
||
=== "<11>"
|
||
|
||
|
||
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
|
||
|
||
不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
|
||
|
||
### 复杂度分析
|
||
|
||
**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
|
||
|
||
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
|
||
|
||
## 深度优先遍历
|
||
|
||
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
|
||
|
||
|
||
|
||
### 算法实现
|
||
|
||
这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="graph_dfs.java"
|
||
[class]{graph_dfs}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="graph_dfs.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="graph_dfs.py"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graph_dfs}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="graph_dfs.go"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="graph_dfs.js"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="graph_dfs.ts"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="graph_dfs.c"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="graph_dfs.cs"
|
||
[class]{graph_dfs}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="graph_dfs.swift"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="graph_dfs.zig"
|
||
[class]{}-[func]{dfs}
|
||
|
||
[class]{}-[func]{graphDFS}
|
||
```
|
||
|
||
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中
|
||
|
||
- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
|
||
- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
|
||
|
||
为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
|
||
|
||
=== "<1>"
|
||
|
||
|
||
=== "<2>"
|
||
|
||
|
||
=== "<3>"
|
||
|
||
|
||
=== "<4>"
|
||
|
||
|
||
=== "<5>"
|
||
|
||
|
||
=== "<6>"
|
||
|
||
|
||
=== "<7>"
|
||
|
||
|
||
=== "<8>"
|
||
|
||
|
||
=== "<9>"
|
||
|
||
|
||
=== "<10>"
|
||
|
||
|
||
=== "<11>"
|
||
|
||
|
||
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
|
||
|
||
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
|
||
|
||
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。
|
||
|
||
### 复杂度分析
|
||
|
||
**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
|
||
|
||
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。
|