hello-algo/en/docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md

---
comments: true
---

# 15.2   Fractional knapsack problem

!!! question

    Given $n$ items, the weight of the $i$-th item is $wgt[i-1]$ and its value is $val[i-1]$, and a knapsack with a capacity of $cap$. Each item can be chosen only once, **but a part of the item can be selected, with its value calculated based on the proportion of the weight chosen**, what is the maximum value of the items in the knapsack under the limited capacity? An example is shown below.

![Example data of the fractional knapsack problem](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> Figure 15-3 &nbsp; Example data of the fractional knapsack problem </p>

The fractional knapsack problem is very similar overall to the 0-1 knapsack problem, involving the current item $i$ and capacity $c$, aiming to maximize the value within the limited capacity of the knapsack.

The difference is that, in this problem, only a part of an item can be chosen. As shown in the Figure 15-4 , **we can arbitrarily split the items and calculate the corresponding value based on the weight proportion**.

1. For item $i$, its value per unit weight is $val[i-1] / wgt[i-1]$, referred to as the unit value.
2. Suppose we put a part of item $i$ with weight $w$ into the knapsack, then the value added to the knapsack is $w \times val[i-1] / wgt[i-1]$.

![Value per unit weight of the item](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> Figure 15-4 &nbsp; Value per unit weight of the item </p>

### 1. &nbsp; Greedy strategy determination

Maximizing the total value of the items in the knapsack essentially means maximizing the value per unit weight. From this, the greedy strategy shown below can be deduced.

1. Sort the items by their unit value from high to low.
2. Iterate over all items, **greedily choosing the item with the highest unit value in each round**.
3. If the remaining capacity of the knapsack is insufficient, use part of the current item to fill the knapsack.

![Greedy strategy of the fractional knapsack problem](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_greedy_strategy.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> Figure 15-5 &nbsp; Greedy strategy of the fractional knapsack problem </p>

### 2. &nbsp; Code implementation

We have created an `Item` class in order to sort the items by their unit value. We loop and make greedy choices until the knapsack is full, then exit and return the solution:

=== "Python"

    ```python title="fractional_knapsack.py"
    class Item:
        """物品"""

        def __init__(self, w: int, v: int):
            self.w = w  # 物品重量
            self.v = v  # 物品价值

    def fractional_knapsack(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
        """分数背包：贪心"""
        # 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        items = [Item(w, v) for w, v in zip(wgt, val)]
        # 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        items.sort(key=lambda item: item.v / item.w, reverse=True)
        # 循环贪心选择
        res = 0
        for item in items:
            if item.w <= cap:
                # 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v
                cap -= item.w
            else:
                # 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (item.v / item.w) * cap
                # 已无剩余容量，因此跳出循环
                break
        return res
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="fractional_knapsack.cpp"
    /* 物品 */
    class Item {
      public:
        int w; // 物品重量
        int v; // 物品价值

        Item(int w, int v) : w(w), v(v) {
        }
    };

    /* 分数背包：贪心 */
    double fractionalKnapsack(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        vector<Item> items;
        for (int i = 0; i < wgt.size(); i++) {
            items.push_back(Item(wgt[i], val[i]));
        }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        sort(items.begin(), items.end(), [](Item &a, Item &b) { return (double)a.v / a.w > (double)b.v / b.w; });
        // 循环贪心选择
        double res = 0;
        for (auto &item : items) {
            if (item.w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v;
                cap -= item.w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (double)item.v / item.w * cap;
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break;
            }
        }
        return res;
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="fractional_knapsack.java"
    /* 物品 */
    class Item {
        int w; // 物品重量
        int v; // 物品价值

        public Item(int w, int v) {
            this.w = w;
            this.v = v;
        }
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    double fractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        Item[] items = new Item[wgt.length];
        for (int i = 0; i < wgt.length; i++) {
            items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
        }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        Arrays.sort(items, Comparator.comparingDouble(item -> -((double) item.v / item.w)));
        // 循环贪心选择
        double res = 0;
        for (Item item : items) {
            if (item.w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v;
                cap -= item.w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (double) item.v / item.w * cap;
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break;
            }
        }
        return res;
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="fractional_knapsack.cs"
    /* 物品 */
    class Item(int w, int v) {
        public int w = w; // 物品重量
        public int v = v; // 物品价值
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    double FractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        Item[] items = new Item[wgt.Length];
        for (int i = 0; i < wgt.Length; i++) {
            items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
        }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        Array.Sort(items, (x, y) => (y.v / y.w).CompareTo(x.v / x.w));
        // 循环贪心选择
        double res = 0;
        foreach (Item item in items) {
            if (item.w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v;
                cap -= item.w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (double)item.v / item.w * cap;
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break;
            }
        }
        return res;
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="fractional_knapsack.go"
    /* 物品 */
    type Item struct {
        w int // 物品重量
        v int // 物品价值
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    func fractionalKnapsack(wgt []int, val []int, cap int) float64 {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        items := make([]Item, len(wgt))
        for i := 0; i < len(wgt); i++ {
            items[i] = Item{wgt[i], val[i]}
        }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        sort.Slice(items, func(i, j int) bool {
            return float64(items[i].v)/float64(items[i].w) > float64(items[j].v)/float64(items[j].w)
        })
        // 循环贪心选择
        res := 0.0
        for _, item := range items {
            if item.w <= cap {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += float64(item.v)
                cap -= item.w
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += float64(item.v) / float64(item.w) * float64(cap)
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break
            }
        }
        return res
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="fractional_knapsack.swift"
    /* 物品 */
    class Item {
        var w: Int // 物品重量
        var v: Int // 物品价值

        init(w: Int, v: Int) {
            self.w = w
            self.v = v
        }
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    func fractionalKnapsack(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Double {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        var items = zip(wgt, val).map { Item(w: $0, v: $1) }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        items.sort { -(Double($0.v) / Double($0.w)) < -(Double($1.v) / Double($1.w)) }
        // 循环贪心选择
        var res = 0.0
        var cap = cap
        for item in items {
            if item.w <= cap {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += Double(item.v)
                cap -= item.w
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += Double(item.v) / Double(item.w) * Double(cap)
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break
            }
        }
        return res
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="fractional_knapsack.js"
    /* 物品 */
    class Item {
        constructor(w, v) {
            this.w = w; // 物品重量
            this.v = v; // 物品价值
        }
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    function fractionalKnapsack(wgt, val, cap) {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        const items = wgt.map((w, i) => new Item(w, val[i]));
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        items.sort((a, b) => b.v / b.w - a.v / a.w);
        // 循环贪心选择
        let res = 0;
        for (const item of items) {
            if (item.w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v;
                cap -= item.w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (item.v / item.w) * cap;
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break;
            }
        }
        return res;
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="fractional_knapsack.ts"
    /* 物品 */
    class Item {
        w: number; // 物品重量
        v: number; // 物品价值

        constructor(w: number, v: number) {
            this.w = w;
            this.v = v;
        }
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    function fractionalKnapsack(wgt: number[], val: number[], cap: number): number {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        const items: Item[] = wgt.map((w, i) => new Item(w, val[i]));
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        items.sort((a, b) => b.v / b.w - a.v / a.w);
        // 循环贪心选择
        let res = 0;
        for (const item of items) {
            if (item.w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v;
                cap -= item.w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (item.v / item.w) * cap;
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break;
            }
        }
        return res;
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="fractional_knapsack.dart"
    /* 物品 */
    class Item {
      int w; // 物品重量
      int v; // 物品价值

      Item(this.w, this.v);
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    double fractionalKnapsack(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
      // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
      List<Item> items = List.generate(wgt.length, (i) => Item(wgt[i], val[i]));
      // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
      items.sort((a, b) => (b.v / b.w).compareTo(a.v / a.w));
      // 循环贪心选择
      double res = 0;
      for (Item item in items) {
        if (item.w <= cap) {
          // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
          res += item.v;
          cap -= item.w;
        } else {
          // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
          res += item.v / item.w * cap;
          // 已无剩余容量，因此跳出循环
          break;
        }
      }
      return res;
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="fractional_knapsack.rs"
    /* 物品 */
    struct Item {
        w: i32, // 物品重量
        v: i32, // 物品价值
    }

    impl Item {
        fn new(w: i32, v: i32) -> Self {
            Self { w, v }
        }
    }

    /* 分数背包：贪心 */
    fn fractional_knapsack(wgt: &[i32], val: &[i32], mut cap: i32) -> f64 {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        let mut items = wgt
            .iter()
            .zip(val.iter())
            .map(|(&w, &v)| Item::new(w, v))
            .collect::<Vec<Item>>();
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        items.sort_by(|a, b| {
            (b.v as f64 / b.w as f64)
                .partial_cmp(&(a.v as f64 / a.w as f64))
                .unwrap()
        });
        // 循环贪心选择
        let mut res = 0.0;
        for item in &items {
            if item.w <= cap {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v as f64;
                cap -= item.w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += item.v as f64 / item.w as f64 * cap as f64;
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break;
            }
        }
        res
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="fractional_knapsack.c"
    /* 物品 */
    typedef struct {
        int w; // 物品重量
        int v; // 物品价值
    } Item;

    /* 分数背包：贪心 */
    float fractionalKnapsack(int wgt[], int val[], int itemCount, int cap) {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        Item *items = malloc(sizeof(Item) * itemCount);
        for (int i = 0; i < itemCount; i++) {
            items[i] = (Item){.w = wgt[i], .v = val[i]};
        }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        qsort(items, (size_t)itemCount, sizeof(Item), sortByValueDensity);
        // 循环贪心选择
        float res = 0.0;
        for (int i = 0; i < itemCount; i++) {
            if (items[i].w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += items[i].v;
                cap -= items[i].w;
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += (float)cap / items[i].w * items[i].v;
                cap = 0;
                break;
            }
        }
        free(items);
        return res;
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="fractional_knapsack.kt"
    /* 物品 */
    class Item(
        val w: Int, // 物品
        val v: Int  // 物品价值
    )

    /* 分数背包：贪心 */
    fun fractionalKnapsack(wgt: IntArray, _val: IntArray, c: Int): Double {
        // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
        var cap = c
        val items = arrayOfNulls<Item>(wgt.size)
        for (i in wgt.indices) {
            items[i] = Item(wgt[i], _val[i])
        }
        // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
        items.sortBy { item: Item? -> -(item!!.v.toDouble() / item.w) }
        // 循环贪心选择
        var res = 0.0
        for (item in items) {
            if (item!!.w <= cap) {
                // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
                res += item.v
                cap -= item.w
            } else {
                // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
                res += item.v.toDouble() / item.w * cap
                // 已无剩余容量，因此跳出循环
                break
            }
        }
        return res
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="fractional_knapsack.rb"
    [class]{Item}-[func]{}

    [class]{}-[func]{fractional_knapsack}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="fractional_knapsack.zig"
    [class]{Item}-[func]{}

    [class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
    ```

??? pythontutor "Code Visualization"

    <div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Item%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%89%A9%E5%93%81%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20w%3A%20int,%20v%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.w%20%3D%20w%20%20%23%20%E7%89%A9%E5%93%81%E9%87%8D%E9%87%8F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.v%20%3D%20v%20%20%23%20%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%0Adef%20fractional_knapsack%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%86%E6%95%B0%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9B%E5%BB%BA%E7%89%A9%E5%93%81%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E5%8C%85%E5%90%AB%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%B1%9E%E6%80%A7%EF%BC%9A%E9%87%8D%E9%87%8F%E3%80%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20items%20%3D%20%5BItem%28w,%20v%29%20for%20w,%20v%20in%20zip%28wgt,%20val%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8C%89%E7%85%A7%E5%8D%95%E4%BD%8D%E4%BB%B7%E5%80%BC%20item.v%20/%20item.w%20%E4%BB%8E%E9%AB%98%E5%88%B0%E4%BD%8E%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20items.sort%28key%3Dlambda%20item%3A%20item.v%20/%20item.w,%20reverse%3DTrue%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20item%20in%20items%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20item.w%20%3C%3D%20cap%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%E5%85%85%E8%B6%B3%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%B0%86%E5%BD%93%E5%89%8D%E7%89%A9%E5%93%81%E6%95%B4%E4%B8%AA%E8%A3%85%E8%BF%9B%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20item.v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20-%3D%20item.w%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%8D%E8%B6%B3%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%B0%86%E5%BD%93%E5%89%8D%E7%89%A9%E5%93%81%E7%9A%84%E4%B8%80%E9%83%A8%E5%88%86%E8%A3%85%E8%BF%9B%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20%28item.v%20/%20item.w%29%20*%20cap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%9B%A0%E6%AD%A4%E8%B7%B3%E5%87%BA%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fractional_knapsack%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Item%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%89%A9%E5%93%81%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20w%3A%20int,%20v%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.w%20%3D%20w%20%20%23%20%E7%89%A9%E5%93%81%E9%87%8D%E9%87%8F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.v%20%3D%20v%20%20%23%20%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%0Adef%20fractional_knapsack%28wgt%3A%20list%5Bint%5D,%20val%3A%20list%5Bint%5D,%20cap%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%86%E6%95%B0%E8%83%8C%E5%8C%85%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9B%E5%BB%BA%E7%89%A9%E5%93%81%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E5%8C%85%E5%90%AB%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%B1%9E%E6%80%A7%EF%BC%9A%E9%87%8D%E9%87%8F%E3%80%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%0A%20%20%20%20items%20%3D%20%5BItem%28w,%20v%29%20for%20w,%20v%20in%20zip%28wgt,%20val%29%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8C%89%E7%85%A7%E5%8D%95%E4%BD%8D%E4%BB%B7%E5%80%BC%20item.v%20/%20item.w%20%E4%BB%8E%E9%AB%98%E5%88%B0%E4%BD%8E%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20items.sort%28key%3Dlambda%20item%3A%20item.v%20/%20item.w,%20reverse%3DTrue%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20item%20in%20items%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20item.w%20%3C%3D%20cap%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%E5%85%85%E8%B6%B3%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%B0%86%E5%BD%93%E5%89%8D%E7%89%A9%E5%93%81%E6%95%B4%E4%B8%AA%E8%A3%85%E8%BF%9B%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20item.v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20-%3D%20item.w%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%8D%E8%B6%B3%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%B0%86%E5%BD%93%E5%89%8D%E7%89%A9%E5%93%81%E7%9A%84%E4%B8%80%E9%83%A8%E5%88%86%E8%A3%85%E8%BF%9B%E8%83%8C%E5%8C%85%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20%28item.v%20/%20item.w%29%20*%20cap%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B7%B2%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%8C%E5%9B%A0%E6%AD%A4%E8%B7%B3%E5%87%BA%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20wgt%20%3D%20%5B10,%2020,%2030,%2040,%2050%5D%0A%20%20%20%20val%20%3D%20%5B50,%20120,%20150,%20210,%20240%5D%0A%20%20%20%20cap%20%3D%2050%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28wgt%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fractional_knapsack%28wgt,%20val,%20cap%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%AE%B9%E9%87%8F%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%89%A9%E5%93%81%E4%BB%B7%E5%80%BC%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=8&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Full Screen ></a></div>

Apart from sorting, in the worst case, the entire list of items needs to be traversed, **hence the time complexity is $O(n)$**, where $n$ is the number of items.

Since an `Item` object list is initialized, **the space complexity is $O(n)$**.

### 3. &nbsp; Correctness proof

Using proof by contradiction. Suppose item $x$ has the highest unit value, and some algorithm yields a maximum value `res`, but the solution does not include item $x$.

Now remove a unit weight of any item from the knapsack and replace it with a unit weight of item $x$. Since the unit value of item $x$ is the highest, the total value after replacement will definitely be greater than `res`. **This contradicts the assumption that `res` is the optimal solution, proving that the optimal solution must include item $x$**.

For other items in this solution, we can also construct the above contradiction. Overall, **items with greater unit value are always better choices**, proving that the greedy strategy is effective.

As shown in the Figure 15-6 , if the item weight and unit value are viewed as the horizontal and vertical axes of a two-dimensional chart respectively, the fractional knapsack problem can be transformed into "seeking the largest area enclosed within a limited horizontal axis range". This analogy can help us understand the effectiveness of the greedy strategy from a geometric perspective.

![Geometric representation of the fractional knapsack problem](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_area_chart.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> Figure 15-6 &nbsp; Geometric representation of the fractional knapsack problem </p>