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插入排序

「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 数组插入操作 的排序算法。

「插入操作」的思想：选定数组的某个元素为基准数 base ，将 base 与其左边的元素依次对比大小，并 “插入” 到正确位置。

然而，由于数组在内存中的存储方式是连续的，我们无法直接把 base 插入到目标位置，而是需要将从目标位置到 base 之间的所有元素向右移动一位（本质上是一次数组插入操作）。

Fig. 插入操作

算法流程

1. 第 1 轮先选取数组的 第 2 个元素 为 base ，执行「插入操作」后， 数组前 2 个元素已完成排序。
2. 第 2 轮选取 第 3 个元素 为 base ，执行「插入操作」后， 数组前 3 个元素已完成排序。
3. 以此类推……最后一轮选取 数组尾元素 为 base ，执行「插入操作」后 所有元素已完成排序。

Fig. 插入排序流程

=== "Java"

```java title="insertion_sort.java"
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="insertion_sort.cpp"
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int>& nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
```

=== "Python"

```python title="insertion_sort.py"
""" 插入排序 """
def insertion_sort(nums):
    # 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for i in range(1, len(nums)):
        base = nums[i]
        j = i - 1
        # 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0 and nums[j] > base:
            nums[j + 1] = nums[j]  # 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        nums[j + 1] = base         # 2. 将 base 赋值到正确位置
```

算法特性

时间复杂度 O(n^2) ： 最差情况下，各轮插入操作循环 n - 1 , n-2 , \cdots , 2 , 1 次，求和为 \frac{(n - 1) n}{2} ，使用 O(n^2) 时间。

空间复杂度 O(1) ： 指针 i , j 使用常数大小的额外空间。

原地排序： 指针变量仅使用常数大小额外空间。

稳定排序： 不交换相等元素。

自适应排序： 最佳情况下，时间复杂度为 O(n) 。

插入排序 vs 冒泡排序

!!! question

虽然「插入排序」和「冒泡排序」的时间复杂度皆为 $O(n^2)$ ，但实际运行速度却有很大差别，这是为什么呢？

回顾复杂度分析，两个方法的循环次数都是 \frac{(n - 1) n}{2} 。但不同的是，「冒泡操作」是在做 元素交换 ，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；而「插入操作」是在做 赋值 ，只需 1 个单元操作；因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍。

插入排序运行速度快，并且具有原地、稳定、自适应的优点，因此很受欢迎。实际上，包括 Java 在内的许多编程语言的排序库函数的实现都用到了插入排序。库函数的大致思路：

• 对于 长数组，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 O(n \log n) ；
• 对于 短数组，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 O(n^2) ；

在数组较短时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用，此时插入排序运行地更快。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。