xmengnet/hello-algo
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hello-algo/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
krahets d09b1e4f9f Fix space_complexity.md
2023-03-13 22:53:53 +08:00

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# 空间复杂度
「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势**。这个概念与时间复杂度很类似。
## 算法相关空间
算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：
- 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
- 「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；
- 「输出空间」用于存储算法的输出数据；
!!! tip
通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
暂存空间可分为三个部分：
- 「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 **常量、变量、对象** 等。
- 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。
- 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，**在实际统计中一般忽略不计**。
![算法使用的相关空间](space_complexity.assets/space_types.png)
=== "Java"
```java title=""
/* 类 */
class Node {
int val;
Node next;
Node(int x) { val = x; }
}
/* 函数 */
int function() {
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // 输入数据
final int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* 结构体 */
struct Node {
int val;
Node *next;
Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};
/* 函数 */
int func() {
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // 输入数据
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
```
=== "Python"
```python title=""
""" 类 """
class Node:
def __init__(self, x: int):
self.val: int = x # 结点值
self.next: Optional[Node] = None # 指向下一结点的指针（引用）
""" 函数 """
def function() -> int:
# do something...
return 0
def algorithm(n) -> int: # 输入数据
A: int = 0 # 暂存数据（常量，一般用大写字母表示）
b: int = 0 # 暂存数据（变量）
node = Node(0) # 暂存数据（对象）
c: int = function() # 栈帧空间（调用函数）
return A + b + c # 输出数据
```
=== "Go"
```go title=""
/* 结构体 */
type node struct {
val int
next *node
}
/* 创建 node 结构体 */
func newNode(val int) *node {
return &node{val: val}
}
/* 函数 */
func function() int {
// do something...
return 0
}
func algorithm(n int) int { // 输入数据
const a = 0 // 暂存数据（常量）
b := 0 // 暂存数据（变量）
newNode(0) // 暂存数据（对象）
c := function() // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c // 输出数据
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 类 */
class Node {
val;
next;
constructor(val) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = null; // 指向下一结点的引用
}
}
/* 函数 */
function constFunc() {
// do something
return 0;
}
function algorithm(n) { // 输入数据
const a = 0; // 暂存数据（常量）
let b = 0; // 暂存数据（变量）
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 类 */
class Node {
val: number;
next: Node | null;
constructor(val?: number) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
this.next = null; // 指向下一结点的引用
}
}
/* 函数 */
function constFunc(): number {
// do something
return 0;
}
function algorithm(n: number): number { // 输入数据
const a = 0; // 暂存数据（常量）
let b = 0; // 暂存数据（变量）
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* 类 */
class Node
{
int val;
Node next;
Node(int x) { val = x; }
}
/* 函数 */
int function()
{
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n) // 输入数据
{
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* 类 */
class Node {
var val: Int
var next: Node?
init(x: Int) {
val = x
}
}
/* 函数 */
func function() -> Int {
// do something...
return 0
}
func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
let a = 0 // 暂存数据（常量）
var b = 0 // 暂存数据（变量）
let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
let c = function() // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c // 输出数据
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
## 推算方法
空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计“计算操作数量”变为统计“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，**我们一般只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
**最差空间复杂度中的“最差”有两层含义**，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。
- **以最差输入数据为准**。当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但是当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
- **以算法运行过程中的峰值内存为准**。程序在执行最后一行之前，使用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
int[] b = new int[10000]; // O(1)
if (n > 10)
int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 0; // O(1)
vector<int> b(10000); // O(1)
if (n > 10)
vector<int> nums(n); // O(n)
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int) -> None:
a: int = 0 # O(1)
b: List[int] = [0] * 10000 # O(1)
if n > 10:
nums: List[int] = [0] * n # O(n)
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 0 // O(1)
b := make([]int, 10000) // O(1)
var nums []int
if n > 10 {
nums := make([]int, n) // O(n)
}
fmt.Println(a, b, nums)
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
const a = 0; // O(1)
const b = new Array(10000); // O(1)
if (n > 10) {
const nums = new Array(n); // O(n)
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
const a = 0; // O(1)
const b = new Array(10000); // O(1)
if (n > 10) {
const nums = new Array(n); // O(n)
}
}
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
int a = 0; // O(1)
int[] b = new int[10000]; // O(1)
if (n > 10)
{
int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
let a = 0 // O(1)
let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
if n > 10 {
let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如函数 `loop()`，在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而使用 $O(n)$ 的栈帧空间。
=== "Java"
```java title=""
int function() {
// do something
return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
function();
}
}
/* 递归 O(n) */
void recur(int n) {
if (n == 1) return;
return recur(n - 1);
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
int func() {
// do something
return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
func();
}
}
/* 递归 O(n) */
void recur(int n) {
if (n == 1) return;
return recur(n - 1);
}
```
=== "Python"
```python title=""
def function() -> int:
# do something
return 0
""" 循环 O(1) """
def loop(n: int) -> None:
for _ in range(n):
function()
""" 递归 O(n) """
def recur(n: int) -> int:
if n == 1: return
return recur(n - 1)
```
=== "Go"
```go title=""
func function() int {
// do something
return 0
}
/* 循环 O(1) */
func loop(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
function()
}
}
/* 递归 O(n) */
func recur(n int) {
if n == 1 {
return
}
recur(n - 1)
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
function constFunc() {
// do something
return 0;
}
/* 循环 O(1) */
function loop(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
/* 递归 O(n) */
function recur(n) {
if (n === 1) return;
return recur(n - 1);
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
function constFunc(): number {
// do something
return 0;
}
/* 循环 O(1) */
function loop(n: number): void {
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
/* 递归 O(n) */
function recur(n: number): void {
if (n === 1) return;
return recur(n - 1);
}
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
int function()
{
// do something
return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
function();
}
}
/* 递归 O(n) */
int recur(int n)
{
if (n == 1) return 1;
return recur(n - 1);
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
@discardableResult
func function() -> Int {
// do something
return 0
}
/* 循环 O(1) */
func loop(n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
function()
}
}
/* 递归 O(n) */
func recur(n: Int) {
if n == 1 {
return
}
recur(n: n - 1)
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
## 常见类型
设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
$$
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
\end{aligned}
$$
![空间复杂度的常见类型](space_complexity.assets/space_complexity_common_types.png)
!!! tip
部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。
### 常数阶 $O(1)$
常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceConstant}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
[class]{}-[func]{spaceConstant}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{constant}
```
=== "Zig"
```zig title="space_complexity.zig"
[class]{}-[func]{constant}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceLinear}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
[class]{}-[func]{spaceLinear}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linear}
```
=== "Zig"
```zig title="space_complexity.zig"
[class]{}-[func]{linear}
```
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear_recur}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceLinearRecur}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
[class]{}-[func]{spaceLinearRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="space_complexity.zig"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```
![递归函数产生的线性阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png)
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶常见于元素数量与 $n$ 成平方关系的矩阵、图。
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceQuadratic}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
[class]{}-[func]{spaceQuadratic}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
=== "Zig"
```zig title="space_complexity.zig"
[class]{}-[func]{quadratic}
```
在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体使用 $O(n^2)$ 空间。
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{quadratic_recur}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceQuadraticRecur}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
[class]{}-[func]{spaceQuadraticRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="space_complexity.zig"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```
![递归函数产生的平方阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_quadratic.png)
### 指数阶 $O(2^n)$
指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的结点数量为 $2^n - 1$ ，使用 $O(2^n)$ 空间。
=== "Java"
```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
```
=== "C++"
```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Python"
```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{build_tree}
```
=== "Go"
```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "C"
```c title="space_complexity.c"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "C#"
```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
```
=== "Swift"
```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Zig"
```zig title="space_complexity.zig"
[class]{}-[func]{buildTree}
```
![满二叉树产生的指数阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png)
### 对数阶 $O(\log n)$
对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。
例如「归并排序」，长度为 $n$ 的数组可以形成高度为 $\log n$ 的递归树，因此空间复杂度为 $O(\log n)$ 。
再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
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