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Yudong Jin e720aa2d24
feat: Revised the book (#978)
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2023-12-02 06:21:34 +08:00

2.6 KiB

Top-K 问题

!!! question

给定一个长度为 $n$ 的无序数组 `nums` ,请返回数组中前 $k$ 大的元素。

对于该问题,我们先介绍两种思路比较直接的解法,再介绍效率更高的堆解法。

方法一:遍历选择

我们可以进行下图所示的 k 轮遍历,分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、k 大的元素,时间复杂度为 O(nk)

此方法只适用于 k \ll n 的情况,因为当 kn 比较接近时,其时间复杂度趋向于 O(n^2) ,非常耗时。

遍历寻找最大的 k 个元素

!!! tip

当 $k = n$ 时,我们可以得到完整的有序序列,此时等价于“选择排序”算法。

方法二:排序

如下图所示,我们可以先对数组 nums 进行排序,再返回最右边的 k 个元素,时间复杂度为 O(n \log n)

显然,该方法“超额”完成任务了,因为我们只需找出最大的 k 个元素即可,而不需要排序其他元素。

排序寻找最大的 k 个元素

方法三:堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题,流程如下图所示。

  1. 初始化一个小顶堆,其堆顶元素最小。
  2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆。
  3. 从第 k + 1 个元素开始,若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆,并将当前元素入堆。
  4. 遍历完成后,堆中保存的就是最大的 k 个元素。

=== "<1>" 基于堆寻找最大的 k 个元素

=== "<2>" top_k_heap_step2

=== "<3>" top_k_heap_step3

=== "<4>" top_k_heap_step4

=== "<5>" top_k_heap_step5

=== "<6>" top_k_heap_step6

=== "<7>" top_k_heap_step7

=== "<8>" top_k_heap_step8

=== "<9>" top_k_heap_step9

示例代码如下:

[file]{top_k}-[class]{}-[func]{top_k_heap}

总共执行了 n 轮入堆和出堆,堆的最大长度为 k ,因此时间复杂度为 O(n \log k) 。该方法的效率很高,当 k 较小时,时间复杂度趋向 O(n) ;当 k 较大时,时间复杂度不会超过 O(n \log n)

另外,该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时,我们可以持续维护堆内的元素,从而实现最大 k 个元素的动态更新。