基数排序

上节介绍的计数排序适用于数据量 n 大但数据范围 m 不大的情况。假设需要排序 n = 10^6 个学号数据，学号是 8 位数字，那么数据范围 m = 10^8 很大，使用计数排序则需要开辟巨大的内存空间，而基数排序则可以避免这种情况。

「基数排序 Radix Sort」主体思路与计数排序一致，也通过统计出现次数实现排序，并在此基础上利用位与位之间的递进关系，依次对每一位执行排序，从而获得排序结果。

算法流程

以上述的学号数据为例，设数字最低位为第 1 位、最高位为第 8 位，基数排序的流程为：

初始化位数 k = 1 ；
对学号的第 k 位执行「计数排序」，完成后，数据即按照第 k 位从小到大排序；
将 k 自增 1 ，并返回第 2. 步继续迭代，直至排序完所有位后结束；

下面来剖析代码实现。对于一个 d 进制的数字 x ，其第 k 位 x_k 的计算公式为

$$ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \mod d

其中 \lfloor a \rfloor 代表对浮点数 a 执行向下取整，\mod d 代表对 d 取余。学号数据的 d = 10 , k \in [1, 8] 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字第 k 位执行排序。

=== "Java"

```java title="radix_sort.java"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}

[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}

[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```

=== "C++"

```cpp title="radix_sort.cpp"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "Python"

```python title="radix_sort.py"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{counting_sort_digit}

[class]{}-[func]{radix_sort}
```

=== "Go"

```go title="radix_sort.go"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="radix_sort.js"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="radix_sort.ts"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "C"

```c title="radix_sort.c"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "C#"

```csharp title="radix_sort.cs"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}

[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}

[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```

=== "Swift"

```swift title="radix_sort.swift"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "Zig"

```zig title="radix_sort.zig"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

!!! question "为什么从最低位开始排序？"

对于先后两轮排序，第二轮排序可能会覆盖第一轮排序的结果，比如第一轮认为 $a < b$ ，而第二轮认为 $a > b$ ，则第二轮会取代第一轮的结果。由于数字高位比低位的优先级更高，所以要先排序低位再排序高位。

算法特性

时间复杂度 $O(n k)$ ：设数据量为 n 、数据为 d 进制、最大为 k 位，则对某一位执行计数排序使用 O(n + d) 时间，排序 k 位使用 O((n + d)k) 时间；一般情况下 d 和 k 都比较小，此时时间复杂度近似为 O(n) 。

空间复杂度 $O(n + d)$ ：与计数排序一样，借助了长度分别为 n , d 的数组 res 和 counter ，因此是“非原地排序”。

与计数排序一致，基数排序也是稳定排序。相比于计数排序，基数排序可适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以被表示为固定位数的格式，且位数不能太大。比如浮点数就不适合使用基数排序，因为其位数 k 太大，可能时间复杂度 O(nk) \gg O(n^2) 。

4.1 KiB Raw Blame History Unescape Escape

基数排序

算法流程

算法特性

4.1 KiB

Raw Blame History