mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2024-12-27 03:46:29 +08:00
21 KiB
21 KiB
| comments |
|---|
| true |
15.1 贪心算法
「贪心算法 greedy algorithm」是一种常见的解决优化问题的算法，其基本思想是在问题的每个决策阶段，都选择当前看起来最优的选择，即贪心地做出局部最优的决策，以期获得全局最优解。贪心算法简洁且高效，在许多实际问题中有着广泛的应用。
贪心算法和动态规划都常用于解决优化问题。它们之间存在一些相似之处，比如都依赖最优子结构性质，但工作原理不同。
- 动态规划会根据之前阶段的所有决策来考虑当前决策，并使用过去子问题的解来构建当前子问题的解。
- 贪心算法不会考虑过去的决策，而是一路向前地进行贪心选择，不断缩小问题范围，直至问题被解决。
我们先通过例题“零钱兑换”了解贪心算法的工作原理。这道题已经在“完全背包问题”章节中介绍过，相信你对它并不陌生。
!!! question
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币数量。如果无法凑出目标金额，则返回 $-1$ 。
本题采取的贪心策略如图 15-1 所示。给定目标金额，我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。
{ class="animation-figure" }
图 15-1 零钱兑换的贪心策略
实现代码如下所示：
=== "Python"
```python title="coin_change_greedy.py"
def coin_change_greedy(coins: list[int], amt: int) -> int:
"""零钱兑换：贪心"""
# 假设 coins 列表有序
i = len(coins) - 1
count = 0
# 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while amt > 0:
# 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while i > 0 and coins[i] > amt:
i -= 1
# 选择 coins[i]
amt -= coins[i]
count += 1
# 若未找到可行方案，则返回 -1
return count if amt == 0 else -1
```
=== "C++"
```cpp title="coin_change_greedy.cpp"
/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(vector<int> &coins, int amt) {
// 假设 coins 列表有序
int i = coins.size() - 1;
int count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt == 0 ? count : -1;
}
```
=== "Java"
```java title="coin_change_greedy.java"
/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(int[] coins, int amt) {
// 假设 coins 列表有序
int i = coins.length - 1;
int count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt == 0 ? count : -1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="coin_change_greedy.cs"
/* 零钱兑换：贪心 */
int CoinChangeGreedy(int[] coins, int amt) {
// 假设 coins 列表有序
int i = coins.Length - 1;
int count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt == 0 ? count : -1;
}
```
=== "Go"
```go title="coin_change_greedy.go"
/* 零钱兑换：贪心 */
func coinChangeGreedy(coins []int, amt int) int {
// 假设 coins 列表有序
i := len(coins) - 1
count := 0
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
for amt > 0 {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
for i > 0 && coins[i] > amt {
i--
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i]
count++
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
if amt != 0 {
return -1
}
return count
}
```
=== "Swift"
```swift title="coin_change_greedy.swift"
/* 零钱兑换：贪心 */
func coinChangeGreedy(coins: [Int], amt: Int) -> Int {
// 假设 coins 列表有序
var i = coins.count - 1
var count = 0
var amt = amt
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while amt > 0 {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while i > 0 && coins[i] > amt {
i -= 1
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i]
count += 1
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt == 0 ? count : -1
}
```
=== "JS"
```javascript title="coin_change_greedy.js"
/* 零钱兑换：贪心 */
function coinChangeGreedy(coins, amt) {
// 假设 coins 数组有序
let i = coins.length - 1;
let count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt === 0 ? count : -1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="coin_change_greedy.ts"
/* 零钱兑换：贪心 */
function coinChangeGreedy(coins: number[], amt: number): number {
// 假设 coins 数组有序
let i = coins.length - 1;
let count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt === 0 ? count : -1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="coin_change_greedy.dart"
/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(List<int> coins, int amt) {
// 假设 coins 列表有序
int i = coins.length - 1;
int count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt == 0 ? count : -1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_greedy.rs"
/* 零钱兑换：贪心 */
fn coin_change_greedy(coins: &[i32], mut amt: i32) -> i32 {
// 假设 coins 列表有序
let mut i = coins.len() - 1;
let mut count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while amt > 0 {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while i > 0 && coins[i] > amt {
i -= 1;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count += 1;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
if amt == 0 {
count
} else {
-1
}
}
```
=== "C"
```c title="coin_change_greedy.c"
/* 零钱兑换：贪心 */
int coinChangeGreedy(int *coins, int size, int amt) {
// 假设 coins 列表有序
int i = size - 1;
int count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while (amt > 0) {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while (i > 0 && coins[i] > amt) {
i--;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count++;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
return amt == 0 ? count : -1;
}
```
=== "Zig"
```zig title="coin_change_greedy.zig"
[class]{}-[func]{coinChangeGreedy}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_greedy%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%81%87%E8%AE%BE%20coins%20%E5%88%97%E8%A1%A8%E6%9C%89%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20i%20%3D%20len%28coins%29%20-%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E5%88%B0%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E9%87%91%E9%A2%9D%0A%20%20%20%20while%20amt%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%B0%8F%E4%BA%8E%E4%B8%94%E6%9C%80%E6%8E%A5%E8%BF%91%E5%89%A9%E4%BD%99%E9%87%91%E9%A2%9D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B8%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20i%20%3E%200%20and%20coins%5Bi%5D%20%3E%20amt%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20-%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%89%E6%8B%A9%20coins%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20amt%20-%3D%20coins%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%9C%AA%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%8F%AF%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%A1%88%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20-1%0A%20%20%20%20return%20count%20if%20amt%20%3D%3D%200%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%EF%BC%9A%E8%83%BD%E5%A4%9F%E4%BF%9D%E8%AF%81%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%85%A8%E5%B1%80%E6%9C%80%E4%BC%98%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%205,%2010,%2020,%2050,%20100%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%20186%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_greedy%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cncoins%20%3D%20%7Bcoins%7D,%20amt%20%3D%20%7Bamt%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%20%7Bamt%7D%20%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%EF%BC%9A%E6%97%A0%E6%B3%95%E4%BF%9D%E8%AF%81%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%85%A8%E5%B1%80%E6%9C%80%E4%BC%98%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%2020,%2050%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%2060%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_greedy%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cncoins%20%3D%20%7Bcoins%7D,%20amt%20%3D%20%7Bamt%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%20%7Bamt%7D%20%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%AE%9E%E9%99%85%E4%B8%8A%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%203%20%EF%BC%8C%E5%8D%B3%2020%20%2B%2020%20%2B%2020%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20coin_change_greedy%28coins%3A%20list%5Bint%5D,%20amt%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%81%87%E8%AE%BE%20coins%20%E5%88%97%E8%A1%A8%E6%9C%89%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20i%20%3D%20len%28coins%29%20-%201%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E5%88%B0%E6%97%A0%E5%89%A9%E4%BD%99%E9%87%91%E9%A2%9D%0A%20%20%20%20while%20amt%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%B0%8F%E4%BA%8E%E4%B8%94%E6%9C%80%E6%8E%A5%E8%BF%91%E5%89%A9%E4%BD%99%E9%87%91%E9%A2%9D%E7%9A%84%E7%A1%AC%E5%B8%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20i%20%3E%200%20and%20coins%5Bi%5D%20%3E%20amt%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20-%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%89%E6%8B%A9%20coins%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20amt%20-%3D%20coins%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%9C%AA%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%8F%AF%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%A1%88%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20-1%0A%20%20%20%20return%20count%20if%20amt%20%3D%3D%200%20else%20-1%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%EF%BC%9A%E8%83%BD%E5%A4%9F%E4%BF%9D%E8%AF%81%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%85%A8%E5%B1%80%E6%9C%80%E4%BC%98%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%205,%2010,%2020,%2050,%20100%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%20186%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_greedy%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cncoins%20%3D%20%7Bcoins%7D,%20amt%20%3D%20%7Bamt%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%20%7Bamt%7D%20%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%EF%BC%9A%E6%97%A0%E6%B3%95%E4%BF%9D%E8%AF%81%E6%89%BE%E5%88%B0%E5%85%A8%E5%B1%80%E6%9C%80%E4%BC%98%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20coins%20%3D%20%5B1,%2020,%2050%5D%0A%20%20%20%20amt%20%3D%2060%0A%20%20%20%20res%20%3D%20coin_change_greedy%28coins,%20amt%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cncoins%20%3D%20%7Bcoins%7D,%20amt%20%3D%20%7Bamt%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%87%91%E5%88%B0%20%7Bamt%7D%20%E6%89%80%E9%9C%80%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E7%A1%AC%E5%B8%81%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%AE%9E%E9%99%85%E4%B8%8A%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%91%E6%95%B0%E9%87%8F%E4%B8%BA%203%20%EF%BC%8C%E5%8D%B3%2020%20%2B%2020%20%2B%2020%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
你可能会不由地发出感叹：So clean ！贪心算法仅用约十行代码就解决了零钱兑换问题。
15.1.1 贪心算法的优点与局限性
贪心算法不仅操作直接、实现简单，而且通常效率也很高。在以上代码中，记硬币最小面值为 \min(coins) ，则贪心选择最多循环 amt / \min(coins) 次，时间复杂度为 O(amt / \min(coins)) 。这比动态规划解法的时间复杂度 O(n \times amt) 降低了一个数量级。
然而，对于某些硬币面值组合，贪心算法并不能找到最优解。图 15-2 给出了两个示例。
- 正例 $coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100]$：在该硬币组合下，给定任意
amt，贪心算法都可以找到最优解。 - 反例 $coins = [1, 20, 50]$：假设
amt = 60，贪心算法只能找到50 + 1 \times 10的兑换组合，共计11枚硬币，但动态规划可以找到最优解20 + 20 + 20，仅需3枚硬币。 - 反例 $coins = [1, 49, 50]$：假设
amt = 98，贪心算法只能找到50 + 1 \times 48的兑换组合，共计49枚硬币，但动态规划可以找到最优解49 + 49，仅需2枚硬币。
{ class="animation-figure" }
图 15-2 贪心算法无法找出最优解的示例
也就是说，对于零钱兑换问题，贪心算法无法保证找到全局最优解，并且有可能找到非常差的解。它更适合用动态规划解决。
一般情况下，贪心算法的适用情况分以下两种。
- 可以保证找到最优解：贪心算法在这种情况下往往是最优选择，因为它往往比回溯、动态规划更高效。
- 可以找到近似最优解：贪心算法在这种情况下也是可用的。对于很多复杂问题来说，寻找全局最优解非常困难，能以较高效率找到次优解也是非常不错的。
15.1.2 贪心算法特性
那么问题来了，什么样的问题适合用贪心算法求解呢？或者说，贪心算法在什么情况下可以保证找到最优解？
相较于动态规划，贪心算法的使用条件更加苛刻，其主要关注问题的两个性质。
- 贪心选择性质：只有当局部最优选择始终可以导致全局最优解时，贪心算法才能保证得到最优解。
- 最优子结构：原问题的最优解包含子问题的最优解。
最优子结构已经在“动态规划”章节中介绍过，这里不再赘述。值得注意的是，一些问题的最优子结构并不明显，但仍然可使用贪心算法解决。
我们主要探究贪心选择性质的判断方法。虽然它的描述看上去比较简单，但实际上对于许多问题，证明贪心选择性质并非易事。
例如零钱兑换问题，我们虽然能够容易地举出反例，对贪心选择性质进行证伪，但证实的难度较大。如果问：满足什么条件的硬币组合可以使用贪心算法求解？我们往往只能凭借直觉或举例子来给出一个模棱两可的答案，而难以给出严谨的数学证明。
!!! quote
有一篇论文给出了一个 $O(n^3)$ 时间复杂度的算法，用于判断一个硬币组合能否使用贪心算法找出任意金额的最优解。
Pearson, D. A polynomial-time algorithm for the change-making problem[J]. Operations Research Letters, 2005, 33(3): 231-234.
15.1.3 贪心算法解题步骤
贪心问题的解决流程大体可分为以下三步。
- 问题分析：梳理与理解问题特性，包括状态定义、优化目标和约束条件等。这一步在回溯和动态规划中都有涉及。
- 确定贪心策略：确定如何在每一步中做出贪心选择。这个策略能够在每一步减小问题的规模，并最终解决整个问题。
- 正确性证明：通常需要证明问题具有贪心选择性质和最优子结构。这个步骤可能需要用到数学证明，例如归纳法或反证法等。
确定贪心策略是求解问题的核心步骤，但实施起来可能并不容易，主要有以下原因。
- 不同问题的贪心策略的差异较大。对于许多问题来说，贪心策略比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
- 某些贪心策略具有较强的迷惑性。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是一个典型案例。
为了保证正确性，我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明，通常需要用到反证法或数学归纳法。
然而，正确性证明也很可能不是一件易事。如若没有头绪，我们通常会选择面向测试用例进行代码调试，一步步修改与验证贪心策略。
15.1.4 贪心算法典型例题
贪心算法常常应用在满足贪心选择性质和最优子结构的优化问题中，以下列举了一些典型的贪心算法问题。
- 硬币找零问题：在某些硬币组合下，贪心算法总是可以得到最优解。
- 区间调度问题：假设你有一些任务，每个任务在一段时间内进行，你的目标是完成尽可能多的任务。如果每次都选择结束时间最早的任务，那么贪心算法就可以得到最优解。
- 分数背包问题：给定一组物品和一个载重量，你的目标是选择一组物品，使得总重量不超过载重量，且总价值最大。如果每次都选择性价比最高（价值 / 重量）的物品，那么贪心算法在一些情况下可以得到最优解。
- 股票买卖问题：给定一组股票的历史价格，你可以进行多次买卖，但如果你已经持有股票，那么在卖出之前不能再买，目标是获取最大利润。
- 霍夫曼编码：霍夫曼编码是一种用于无损数据压缩的贪心算法。通过构建霍夫曼树，每次选择出现频率最低的两个节点合并，最后得到的霍夫曼树的带权路径长度（编码长度）最小。
- Dijkstra 算法：它是一种解决给定源顶点到其余各顶点的最短路径问题的贪心算法。