mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2024-12-27 19:46:28 +08:00
256 lines
17 KiB
Markdown
256 lines
17 KiB
Markdown
---
|
|
comments: true
|
|
---
|
|
|
|
# 8.2 建堆操作
|
|
|
|
在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
|
|
|
|
## 8.2.1 借助入堆操作实现
|
|
|
|
我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
|
|
|
|
每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。
|
|
|
|
设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
|
|
|
|
## 8.2.2 通过遍历堆化实现
|
|
|
|
实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
|
|
|
|
1. 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
|
|
2. 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
|
|
|
|
**每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。
|
|
|
|
之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。
|
|
|
|
值得说明的是，**由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
```python title="my_heap.py"
|
|
def __init__(self, nums: list[int]):
|
|
"""构造方法，根据输入列表建堆"""
|
|
# 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
self.max_heap = nums
|
|
# 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
|
|
self.sift_down(i)
|
|
```
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
```cpp title="my_heap.cpp"
|
|
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
|
|
MaxHeap(vector<int> nums) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
maxHeap = nums;
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
siftDown(i);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
```java title="my_heap.java"
|
|
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
|
|
MaxHeap(List<Integer> nums) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
siftDown(i);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
```csharp title="my_heap.cs"
|
|
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
|
|
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
maxHeap = new List<int>(nums);
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
var size = Parent(this.Size() - 1);
|
|
for (int i = size; i >= 0; i--) {
|
|
SiftDown(i);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
```go title="my_heap.go"
|
|
/* 构造函数，根据切片建堆 */
|
|
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
h := &maxHeap{data: nums}
|
|
for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
h.siftDown(i)
|
|
}
|
|
return h
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
```swift title="my_heap.swift"
|
|
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
|
|
init(nums: [Int]) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
maxHeap = nums
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
|
|
siftDown(i: i)
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
```javascript title="my_heap.js"
|
|
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
|
|
constructor(nums) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
this.#siftDown(i);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
```typescript title="my_heap.ts"
|
|
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
|
|
constructor(nums?: number[]) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
this.siftDown(i);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
```dart title="my_heap.dart"
|
|
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
|
|
MaxHeap(List<int> nums) {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
_maxHeap = nums;
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
siftDown(i);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
```rust title="my_heap.rs"
|
|
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
|
|
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
|
|
heap.sift_down(i);
|
|
}
|
|
heap
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
```c title="my_heap.c"
|
|
/* 构造函数，根据切片建堆 */
|
|
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
|
|
// 所有元素入堆
|
|
MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
|
|
maxHeap->size = size;
|
|
memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
|
|
for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
siftDown(maxHeap, i);
|
|
}
|
|
return maxHeap;
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
```zig title="my_heap.zig"
|
|
// 构造方法，根据输入列表建堆
|
|
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
|
|
if (self.max_heap != null) return;
|
|
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
|
|
// 将列表元素原封不动添加进堆
|
|
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
|
|
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
|
|
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
|
|
while (i > 0) : (i -= 1) {
|
|
try self.siftDown(i - 1);
|
|
}
|
|
}
|
|
```
|
|
|
|
??? pythontutor "可视化运行"
|
|
|
|
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%EF%BC%8C%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%BB%BA%E5%A0%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8A%A8%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BF%9B%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E5%8C%96%E9%99%A4%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%BB%A5%E5%A4%96%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%89%80%E6%9C%89%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29,%20-1,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self,%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20*%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self,%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20*%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self,%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E7%88%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D,%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D,%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self,%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BB%8E%E8%8A%82%E7%82%B9%20i%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E9%A1%B6%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E8%8A%82%E7%82%B9%20i,%20l,%20r%20%E4%B8%AD%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%B8%BA%20ma%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l,%20r,%20ma%20%3D%20self.left%28i%29,%20self.right%28i%29,%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20i%20%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%88%96%E7%B4%A2%E5%BC%95%20l,%20r%20%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%88%99%E6%97%A0%E9%A1%BB%E7%BB%A7%E7%BB%AD%E5%A0%86%E5%8C%96%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E4%B8%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i,%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%A0%86%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1,%202,%203,%204,%205%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
|
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%EF%BC%8C%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%BB%BA%E5%A0%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8A%A8%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BF%9B%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E5%8C%96%E9%99%A4%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%BB%A5%E5%A4%96%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%89%80%E6%9C%89%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29,%20-1,%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self,%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20*%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self,%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20*%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self,%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E7%88%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D,%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D,%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self,%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BB%8E%E8%8A%82%E7%82%B9%20i%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E9%A1%B6%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E8%8A%82%E7%82%B9%20i,%20l,%20r%20%E4%B8%AD%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E4%B8%BA%20ma%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l,%20r,%20ma%20%3D%20self.left%28i%29,%20self.right%28i%29,%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20i%20%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%88%96%E7%B4%A2%E5%BC%95%20l,%20r%20%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%88%99%E6%97%A0%E9%A1%BB%E7%BB%A7%E7%BB%AD%E5%A0%86%E5%8C%96%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8D%A2%E4%B8%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i,%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%A0%86%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1,%202,%203,%204,%205%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
|
|
|
|
## 8.2.3 复杂度分析
|
|
|
|
下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
|
|
|
|
- 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) / 2$ 。
|
|
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。
|
|
|
|
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。
|
|
|
|
接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ 、高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
<p align="center"> 图 8-5 完美二叉树的各层节点数量 </p>
|
|
|
|
如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
|
|
|
|
$$
|
|
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
|
|
$$
|
|
|
|
化简上式需要借助中学的数列知识，先将 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到：
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
|
|
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得：
|
|
|
|
$$
|
|
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
|
|
$$
|
|
|
|
观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
|
|
|
|
$$
|
|
\begin{aligned}
|
|
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
|
|
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
|
|
& = O(2^h)
|
|
\end{aligned}
|
|
$$
|
|
|
|
进一步，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
|