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7.3. 二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值；
任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. ；

Fig. 二叉搜索树

7.3.1. 二叉搜索树的操作

查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系

若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；
若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；
若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点；

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
/* 查找节点 */
TreeNode search(int num) {
    TreeNode cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 查找节点 */
TreeNode* search(int num) {
    TreeNode* cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num) cur = cur->right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur->val > num) cur = cur->left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """查找节点"""
    cur: TreeNode | None = self.__root
    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur is not None:
        # 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 目标节点在 cur 的左子树中
        elif cur.val > num:
            cur = cur.left
        # 找到目标节点，跳出循环
        else:
            break
    return cur
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 查找节点 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for node != nil {
        if node.Val < num {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            node = node.Right
        } else if node.Val > num {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return node
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 查找节点 */
function search(num) {
    let cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 查找节点 */
function search(num: number): TreeNode | null {
    let cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right; // 目标节点在 cur 的右子树中
        } else if (cur.val > num) {
            cur = cur.left; // 目标节点在 cur 的左子树中
        } else {
            break; // 找到目标节点，跳出循环
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 查找节点 */
TreeNode? search(int num)
{
    TreeNode? cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null)
    {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 查找节点 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
    var cur = root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if cur!.val > num {
            cur = cur?.left
        }
        // 找到目标节点，跳出循环
        else {
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
// 查找节点
fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
    var cur = self.root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        } else if (cur.?.val > num) {
            cur = cur.?.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        } else {
            break;
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

插入节点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：

查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 \text{null} ）时跳出循环；
在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 \text{null} 的位置；

二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。

Fig. 在二叉搜索树中插入节点

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
/* 插入节点 */
TreeNode insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入节点 val
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
    return node;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 插入节点 */
TreeNode* insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr) return nullptr;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur->val == num) return nullptr;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num) cur = cur->right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur->left;
    }
    // 插入节点 val
    TreeNode* node = new TreeNode(num);
    if (pre->val < num) pre->right = node;
    else pre->left = node;
    return node;
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
def insert(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """插入节点"""
    # 若树为空，直接提前返回
    if self.__root is None:
        return None

    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    cur, pre = self.__root, None
    while cur is not None:
        # 找到重复节点，直接返回
        if cur.val == num:
            return None
        pre = cur
        # 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 插入位置在 cur 的左子树中
        else:
            cur = cur.left

    # 插入节点 val
    node = TreeNode(num)
    if pre.val < num:
        pre.right = node
    else:
        pre.left = node
    return node
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 插入节点 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) *TreeNode {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 待插入节点之前的节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return nil
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入节点
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
    return cur
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 插入节点 */
function insert(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) return null;
    let cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val === num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入节点 val
    let node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
    return node;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 插入节点 */
function insert(num: number): TreeNode | null {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) {
        return null;
    }
    let cur = root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        if (cur.val === num) {
            return null; // 找到重复节点，直接返回
        }
        pre = cur;
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right as TreeNode; // 插入位置在 cur 的右子树中
        } else {
            cur = cur.left as TreeNode; // 插入位置在 cur 的左子树中
        }
    }
    // 插入节点 val
    let node = new TreeNode(num);
    if (pre!.val < num) {
        pre!.right = node;
    } else {
        pre!.left = node;
    }
    return node;
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 插入节点 */
TreeNode? insert(int num)
{
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null)
    {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }

    // 插入节点 val
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre != null)
    {
        if (pre.val < num) pre.right = node;
        else pre.left = node;
    }
    return node;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 插入节点 */
func insert(num: Int) -> TreeNode? {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return nil
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到重复节点，直接返回
        if cur!.val == num {
            return nil
        }
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 插入节点 val
    let node = TreeNode(x: num)
    if pre!.val < num {
        pre?.right = node
    } else {
        pre?.left = node
    }
    return node
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
// 插入节点
fn insert(self: *Self, num: T) !?*inc.TreeNode(T) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (self.root == null) return null;
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.?.val == num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 插入节点 val
    var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
    node.init(num);
    if (pre.?.val < num) {
        pre.?.right = node;
    } else {
        pre.?.left = node;
    }
    return node;
}
```

为了插入节点，我们需要利用辅助节点 pre 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 \text{null} 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

与查找节点相同，插入节点使用 O(\log n) 时间。

删除节点

与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：

当待删除节点的子节点数量 = 0 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。

Fig. 在二叉搜索树中删除节点（度为 0）

当待删除节点的子节点数量 = 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

Fig. 在二叉搜索树中删除节点（度为 1）

当待删除节点的子节点数量 = 2 时，删除操作分为三步：

找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 nex；
在树中递归删除节点 nex ；
使用 nex 替换待删除节点；

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

删除节点操作同样使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除节点需要 O(\log n) 时间，获取中序遍历后继节点需要 O(\log n) 时间。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
/* 删除节点 */
TreeNode remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null) return null;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.left == cur) pre.left = child;
        else pre.right = child;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode nex = getInOrderNext(cur.right);
        int tmp = nex.val;
        // 递归删除节点 nex
        remove(nex.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp;
    }
    return cur;
}

/* 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
TreeNode getInOrderNext(TreeNode root) {
    if (root == null) return root;
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while (root.left != null) {
        root = root.left;
    }
    return root;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 删除节点 */
TreeNode* remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr) return nullptr;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur->val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num) cur = cur->right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur->left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == nullptr) return nullptr;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
        TreeNode* child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
        // 删除节点 cur
        if (pre->left == cur) pre->left = child;
        else pre->right = child;
        // 释放内存
        delete cur;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode* nex = getInOrderNext(cur->right);
        int tmp = nex->val;
        // 递归删除节点 nex
        remove(nex->val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur->val = tmp;
    }
    return cur;
}

/* 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
TreeNode* getInOrderNext(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return root;
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while (root->left != nullptr) {
        root = root->left;
    }
    return root;
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
def remove(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """删除节点"""
    # 若树为空，直接提前返回
    if self.__root is None:
        return None

    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    cur, pre = self.__root, None
    while cur is not None:
        # 找到待删除节点，跳出循环
        if cur.val == num:
            break
        pre = cur
        if cur.val < num:  # 待删除节点在 cur 的右子树中
            cur = cur.right
        else:  # 待删除节点在 cur 的左子树中
            cur = cur.left
    # 若无待删除节点，则直接返回
    if cur is None:
        return None

    # 子节点数量 = 0 or 1
    if cur.left is None or cur.right is None:
        # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        child = cur.left or cur.right
        # 删除节点 cur
        if pre.left == cur:
            pre.left = child
        else:
            pre.right = child
    # 子节点数量 = 2
    else:
        # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        nex: TreeNode = self.get_inorder_next(cur.right)
        tmp: int = nex.val
        # 递归删除节点 nex
        self.remove(nex.val)
        # 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp
    return cur

def get_inorder_next(self, root: TreeNode | None) -> TreeNode | None:
    """获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况）"""
    if root is None:
        return root
    # 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while root.left is not None:
        root = root.left
    return root
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 删除节点 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) *TreeNode {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 待删除节点之前的节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            // 待删除节点在右子树中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待删除节点在左子树中
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 子节点数为 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待删除节点的子节点
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 将子节点替换为待删除节点
        if pre.Left == cur {
            pre.Left = child
        } else {
            pre.Right = child
        }
        // 子节点数为 2
    } else {
        // 获取中序遍历中待删除节点 cur 的下一个节点
        next := bst.getInOrderNext(cur)
        temp := next.Val
        // 递归删除节点 next
        bst.remove(next.Val)
        // 将 next 的值复制给 cur
        cur.Val = temp
    }
    return cur
}

/* 获取中序遍历的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
func (bst *binarySearchTree) getInOrderNext(node *TreeNode) *TreeNode {
    if node == nil {
        return node
    }
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    for node.Left != nil {
        node = node.Left
    }
    return node
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 删除节点 */
function remove(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) return null;
    let cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) return null;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.left === cur) pre.left = child;
        else pre.right = child;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let nex = getInOrderNext(cur.right);
        let tmp = nex.val;
        // 递归删除节点 nex
        remove(nex.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp;
    }
    return cur;
}

/* 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
function getInOrderNext(root) {
    if (root === null) return root;
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while (root.left !== null) {
        root = root.left;
    }
    return root;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 删除节点 */
function remove(num: number): TreeNode | null {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) {
        return null;
    }
    let cur = root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) {
            break;
        }
        pre = cur;
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right as TreeNode; // 待删除节点在 cur 的右子树中
        } else {
            cur = cur.left as TreeNode; // 待删除节点在 cur 的左子树中
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) {
        return null;
    }
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre!.left === cur) {
            pre!.left = child;
        } else {
            pre!.right = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let next = getInOrderNext(cur.right);
        let tmp = next!.val;
        // 递归删除节点 nex
        remove(next!.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.val = tmp;
    }
    return cur;
}

/* 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
function getInOrderNext(root: TreeNode | null): TreeNode | null {
    if (root === null) {
        return null;
    }
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while (root.left !== null) {
        root = root.left;
    }
    return root;
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 删除节点 */
TreeNode? remove(int num)
{
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null)
    {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null || pre == null) return null;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null)
    {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode? child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.left == cur)
        {
            pre.left = child;
        }
        else
        {
            pre.right = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else
    {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode? nex = getInOrderNext(cur.right);
        if (nex != null)
        {
            int tmp = nex.val;
            // 递归删除节点 nex
            remove(nex.val);
            // 将 nex 的值复制给 cur
            cur.val = tmp;
        }
    }
    return cur;
}

/* 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
TreeNode? getInOrderNext(TreeNode? root)
{
    if (root == null) return root;
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while (root.left != null)
    {
        root = root.left;
    }
    return root;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 删除节点 */
@discardableResult
func remove(num: Int) -> TreeNode? {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return nil
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if cur!.val == num {
            break
        }
        pre = cur
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur?.left != nil ? cur?.left : cur?.right
        // 删除节点 cur
        if pre?.left === cur {
            pre?.left = child
        } else {
            pre?.right = child
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let nex = getInOrderNext(root: cur?.right)
        let tmp = nex!.val
        // 递归删除节点 nex
        remove(num: nex!.val)
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur?.val = tmp
    }
    return cur
}

/* 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况） */
func getInOrderNext(root: TreeNode?) -> TreeNode? {
    var root = root
    if root == nil {
        return root
    }
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while root?.left != nil {
        root = root?.left
    }
    return root
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
// 删除节点
fn remove(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (self.root == null) return null;
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.?.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null) return null;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.?.left == cur) {
            pre.?.left = child;
        } else {
            pre.?.right = child;
        }
    // 子节点数量 = 2
    } else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        var nex = self.getInOrderNext(cur.?.right);
        var tmp = nex.?.val;
        // 递归删除节点 nex
        _ = self.remove(nex.?.val);
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur.?.val = tmp;
    }
    return cur;
}

// 获取中序遍历中的下一个节点（仅适用于 root 有左子节点的情况）
fn getInOrderNext(self: *Self, node: ?*inc.TreeNode(T)) ?*inc.TreeNode(T) {
    _ = self;
    var node_tmp = node;
    if (node_tmp == null) return null;
    // 循环访问左子节点，直到叶节点时为最小节点，跳出
    while (node_tmp.?.left != null) {
        node_tmp = node_tmp.?.left;
    }
    return node_tmp;
}
```

排序

我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 \rightarrow 根 \rightarrow 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，无需额外排序，非常高效。

Fig. 二叉搜索树的中序遍历序列

7.3.2. 二叉搜索树的效率

假设给定 n 个数字，最常见的存储方式是「数组」。对于这串乱序的数字，常见操作的效率如下：

查找元素：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 O(n) 时间；
插入元素：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 O(1) 时间；
删除元素：先查找元素，使用 O(n) 时间，再在数组中删除该元素，使用 O(n) 时间；
获取最小 / 最大元素：需要遍历数组来确定，使用 O(n) 时间；

为了获得先验信息，我们可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」。此时操作效率如下：

查找元素：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 O(\log n) 时间；
插入元素：先查找插入位置，使用 O(\log n) 时间，再插入到指定位置，使用 O(n) 时间；
删除元素：先查找元素，使用 O(\log n) 时间，再在数组中删除该元素，使用 O(n) 时间；
获取最小 / 最大元素：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 O(1) 时间；

观察可知，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度呈现“偏科”的特点，即有的快有的慢。然而，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 n 较大时具有显著优势。

	无序数组	有序数组	二叉搜索树
查找指定元素	`O(n)`	`O(\log n)`	`O(\log n)`
插入元素	`O(1)`	`O(n)`	`O(\log n)`
删除元素	`O(n)`	`O(n)`	`O(\log n)`
获取最小 / 最大元素	`O(n)`	`O(1)`	`O(\log n)`

7.3.3. 二叉搜索树的退化

在理想情况下，我们希望二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 \log n 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 O(n) 。

Fig. 二叉搜索树的平衡与退化

7.3.4. 二叉搜索树常见应用

用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
作为某些搜索算法的底层数据结构。
用于存储数据流，以保持其有序状态。

39 KiB Executable file Raw Blame History Unescape Escape

7.3. 二叉搜索树

7.3.1. 二叉搜索树的操作

查找节点

插入节点

删除节点

排序

7.3.2. 二叉搜索树的效率

7.3.3. 二叉搜索树的退化

7.3.4. 二叉搜索树常见应用

39 KiB

Executable file

Raw Blame History