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2023-05-17 20:32:57 +08:00

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8.4. 二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值；
任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. ；

Fig. 二叉搜索树

8.4.1. 二叉搜索树的操作

查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系

若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；
若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；
若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点；

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
/* 查找节点 */
TreeNode search(int num) {
    TreeNode cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num)
            cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
            break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 查找节点 */
TreeNode *search(int num) {
    TreeNode *cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur->val > num)
            cur = cur->left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
            break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
    """查找节点"""
    cur: TreeNode | None = self.__root
    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur is not None:
        # 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 目标节点在 cur 的左子树中
        elif cur.val > num:
            cur = cur.left
        # 找到目标节点，跳出循环
        else:
            break
    return cur
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 查找节点 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for node != nil {
        if node.Val < num {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            node = node.Right
        } else if node.Val > num {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return node
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 查找节点 */
function search(num) {
    let cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 查找节点 */
function search(num: number): TreeNode | null {
    let cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right; // 目标节点在 cur 的右子树中
        } else if (cur.val > num) {
            cur = cur.left; // 目标节点在 cur 的左子树中
        } else {
            break; // 找到目标节点，跳出循环
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"
/* 查找节点 */
TreeNode *search(binarySearchTree *bst, int num) {
    TreeNode *cur = bst->root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        if (cur->val < num) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else if (cur->val > num) {
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            cur = cur->left;
        } else {
            // 找到目标节点，跳出循环
            break;
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 查找节点 */
TreeNode? search(int num) {
    TreeNode? cur = root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 查找节点 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
    var cur = root
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if cur!.val > num {
            cur = cur?.left
        }
        // 找到目标节点，跳出循环
        else {
            break
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
// 查找节点
fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
    var cur = self.root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        } else if (cur.?.val > num) {
            cur = cur.?.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        } else {
            break;
        }
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}
```

插入节点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：

查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 \text{null} ）时跳出循环；
在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 \text{null} 的位置；

二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。

Fig. 在二叉搜索树中插入节点

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
/* 插入节点 */
void insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null)
        return;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 插入节点
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num)
        pre.right = node;
    else
        pre.left = node;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 插入节点 */
void insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr)
        return;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur->val == num)
            return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 插入节点
    TreeNode *node = new TreeNode(num);
    if (pre->val < num)
        pre->right = node;
    else
        pre->left = node;
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
def insert(self, num: int) -> None:
    """插入节点"""
    # 若树为空，直接提前返回
    if self.__root is None:
        return

    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    cur, pre = self.__root, None
    while cur is not None:
        # 找到重复节点，直接返回
        if cur.val == num:
            return
        pre = cur
        # 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 插入位置在 cur 的左子树中
        else:
            cur = cur.left

    # 插入节点
    node = TreeNode(num)
    if pre.val < num:
        pre.right = node
    else:
        pre.left = node
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 插入节点 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 待插入节点之前的节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入节点
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 插入节点 */
function insert(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) return;
    let cur = root,
        pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入节点
    let node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 插入节点 */
function insert(num: number): void {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) {
        return;
    }
    let cur = root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        if (cur.val === num) {
            return; // 找到重复节点，直接返回
        }
        pre = cur;
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right as TreeNode; // 插入位置在 cur 的右子树中
        } else {
            cur = cur.left as TreeNode; // 插入位置在 cur 的左子树中
        }
    }
    // 插入节点
    let node = new TreeNode(num);
    if (pre!.val < num) {
        pre!.right = node;
    } else {
        pre!.left = node;
    }
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"
/* 插入节点 */
void insert(binarySearchTree *bst, int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (bst->root == NULL)
        return;
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur->val == num) {
            return;
        }
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 插入节点
    TreeNode *node = newTreeNode(num);
    if (pre->val < num) {
        pre->right = node;
    } else {
        pre->left = node;
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 插入节点 */
void insert(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }

    // 插入节点
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre != null) {
        if (pre.val < num) pre.right = node;
        else pre.left = node;
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 插入节点 */
func insert(num: Int) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到重复节点，直接返回
        if cur!.val == num {
            return
        }
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 插入节点
    let node = TreeNode(x: num)
    if pre!.val < num {
        pre?.right = node
    } else {
        pre?.left = node
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
// 插入节点
fn insert(self: *Self, num: T) !void {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (self.root == null) return;
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.?.val == num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 插入节点
    var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
    node.init(num);
    if (pre.?.val < num) {
        pre.?.right = node;
    } else {
        pre.?.left = node;
    }
}
```

为了插入节点，我们需要利用辅助节点 pre 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 \text{null} 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

与查找节点相同，插入节点使用 O(\log n) 时间。

删除节点

与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：

当待删除节点的子节点数量 = 0 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。

Fig. 在二叉搜索树中删除节点（度为 0）

当待删除节点的子节点数量 = 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

Fig. 在二叉搜索树中删除节点（度为 1）

当待删除节点的子节点数量 = 2 时，删除操作分为三步：

找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp ；
在树中递归删除节点 tmp ；
用 tmp 的值覆盖待删除节点的值；

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

删除节点操作同样使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除节点需要 O(\log n) 时间，获取中序遍历后继节点需要 O(\log n) 时间。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
/* 删除节点 */
void remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null)
        return;
    TreeNode cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num)
            cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null)
        return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.left == cur)
            pre.left = child;
        else
            pre.right = child;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 删除节点 */
void remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == nullptr)
        return;
    TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != nullptr) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur->val < num)
            cur = cur->right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
            cur = cur->left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == nullptr)
        return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
        TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
        // 删除节点 cur
        if (pre->left == cur)
            pre->left = child;
        else
            pre->right = child;
        // 释放内存
        delete cur;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != nullptr) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp->val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
def remove(self, num: int) -> None:
    """删除节点"""
    # 若树为空，直接提前返回
    if self.__root is None:
        return

    # 循环查找，越过叶节点后跳出
    cur, pre = self.__root, None
    while cur is not None:
        # 找到待删除节点，跳出循环
        if cur.val == num:
            break
        pre = cur
        # 待删除节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num:
            cur = cur.right
        # 待删除节点在 cur 的左子树中
        else:
            cur = cur.left
    # 若无待删除节点，则直接返回
    if cur is None:
        return

    # 子节点数量 = 0 or 1
    if cur.left is None or cur.right is None:
        # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        child = cur.left or cur.right
        # 删除节点 cur
        if pre.left == cur:
            pre.left = child
        else:
            pre.right = child
    # 子节点数量 = 2
    else:
        # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        tmp: TreeNode = cur.right
        while tmp.left is not None:
            tmp = tmp.left
        # 递归删除节点 tmp
        self.remove(tmp.val)
        # 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 删除节点 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 待删除节点之前的节点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            // 待删除节点在右子树中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待删除节点在左子树中
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子节点数为 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待删除节点的子节点
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 将子节点替换为待删除节点
        if pre.Left == cur {
            pre.Left = child
        } else {
            pre.Right = child
        }
        // 子节点数为 2
    } else {
        // 获取中序遍历中待删除节点 cur 的下一个节点
        tmp := cur.Right
        for tmp.Left != nil {
            tmp = tmp.Left
        }
        // 递归删除节点 tmp
        bst.remove(tmp.Val)
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.Val = tmp.Val
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 删除节点 */
function remove(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) return;
    let cur = root,
        pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.left === cur) pre.left = child;
        else pre.right = child;
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let tmp = cur.right;
        while (tmp.left !== null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 删除节点 */
function remove(num: number): void {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root === null) {
        return;
    }
    let cur = root,
        pre: TreeNode | null = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) {
            break;
        }
        pre = cur;
        if (cur.val < num) {
            cur = cur.right as TreeNode; // 待删除节点在 cur 的右子树中
        } else {
            cur = cur.left as TreeNode; // 待删除节点在 cur 的左子树中
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) {
        return;
    }
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre!.left === cur) {
            pre!.left = child;
        } else {
            pre!.right = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let tmp = cur.right;
        while (tmp.left !== null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp!.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"
/* 删除节点 */
// 由于引入了 stdio.h ，此处无法使用 remove 关键词
void removeNode(binarySearchTree *bst, int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (bst->root == NULL)
        return;
    TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != NULL) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur->val == num)
            break;
        pre = cur;
        if (cur->val < num) {
            // 待删除节点在 root 的右子树中
            cur = cur->right;
        } else {
            // 待删除节点在 root 的左子树中
            cur = cur->left;
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == NULL)
        return;
    // 判断待删除节点是否存在子节点
    if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
        /* 子节点数量 = 0 or 1 */
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
        TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
        // 删除节点 cur
        if (pre->left == cur) {
            pre->left = child;
        } else {
            pre->right = child;
        }
    } else {
        /* 子节点数量 = 2 */
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode *tmp = cur->right;
        while (tmp->left != NULL) {
            tmp = tmp->left;
        }
        int tmpVal = tmp->val;
        // 递归删除节点 tmp
        removeNode(bst, tmp->val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur->val = tmpVal;
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 删除节点 */
void remove(int num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null || pre == null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode? child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.left == cur) {
            pre.left = child;
        } else {
            pre.right = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode? tmp = cur.right;
        while (tmp.left != null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 删除节点 */
@discardableResult
func remove(num: Int) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if cur!.val == num {
            break
        }
        pre = cur
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if cur == nil {
        return
    }
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        let child = cur?.left != nil ? cur?.left : cur?.right
        // 删除节点 cur
        if pre?.left === cur {
            pre?.left = child
        } else {
            pre?.right = child
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        var tmp = cur?.right
        while tmp?.left != nil {
            tmp = tmp?.left
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(num: tmp!.val)
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur?.val = tmp!.val
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"
// 删除节点
fn remove(self: *Self, num: T) !void {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (self.root == null) return;
    var cur = self.root;
    var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.?.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.?.val < num) {
            cur = cur.?.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        } else {
            cur = cur.?.left;
        }
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur == null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right;
        // 删除节点 cur
        if (pre.?.left == cur) {
            pre.?.left = child;
        } else {
            pre.?.right = child;
        }
    // 子节点数量 = 2
    } else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        var tmp = cur.?.right;
        while (tmp.?.left != null) {
            tmp = tmp.?.left;
        }
        var tmpVal = tmp.?.val;
        // 递归删除节点 tmp
        _ = self.remove(tmp.?.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.?.val = tmpVal;
    }
}
```

排序

我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 \rightarrow 根 \rightarrow 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，无需额外排序，非常高效。

Fig. 二叉搜索树的中序遍历序列

8.4.2. 二叉搜索树的效率

给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。

观察可知，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

	无序数组	二叉搜索树
查找元素	`O(n)`	`O(\log n)`
插入元素	`O(1)`	`O(\log n)`
删除元素	`O(n)`	`O(\log n)`

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 \log n 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 O(n) 。

Fig. 二叉搜索树的平衡与退化

8.4.3. 二叉搜索树常见应用

用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
作为某些搜索算法的底层数据结构。
用于存储数据流，以保持其有序状态。

37 KiB Executable file Raw Blame History Unescape Escape

8.4. 二叉搜索树

8.4.1. 二叉搜索树的操作

查找节点

插入节点

删除节点

排序

8.4.2. 二叉搜索树的效率

8.4.3. 二叉搜索树常见应用

37 KiB

Executable file

Raw Blame History