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# 二分查找
「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性每轮缩小一半搜索范围直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ,元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 $-1$ 。示例如下图所示。
![二分查找示例数据](binary_search.assets/binary_search_example.png)
如下图所示,我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。请注意,中括号表示闭区间,其包含边界值本身。
接下来,循环执行以下两步。
1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ,其中 $\lfloor \: \rfloor$ 表示向下取整操作。
2. 判断 `nums[m]``target` 的大小关系,分为以下三种情况。
1.`nums[m] < target` 时,说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中,因此执行 $i = m + 1$ 。
2.`nums[m] > target` 时,说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中,因此执行 $j = m - 1$ 。
3.`nums[m] = target` 时,说明找到 `target` ,因此返回索引 $m$ 。
若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空。此时返回 $-1$ 。
=== "<1>"
![二分查找流程](binary_search.assets/binary_search_step1.png)
=== "<2>"
![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)
=== "<3>"
![binary_search_step3](binary_search.assets/binary_search_step3.png)
=== "<4>"
![binary_search_step4](binary_search.assets/binary_search_step4.png)
=== "<5>"
![binary_search_step5](binary_search.assets/binary_search_step5.png)
=== "<6>"
![binary_search_step6](binary_search.assets/binary_search_step6.png)
=== "<7>"
![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)
值得注意的是,由于 $i$ 和 $j$ 都是 `int` 类型,**因此 $i + j$ 可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界,我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
代码如下所示:
```src
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}
```
**时间复杂度为 $O(\log n)$** :在二分循环中,区间每轮缩小一半,因此循环次数为 $\log_2 n$ 。
**空间复杂度为 $O(1)$** :指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小空间。
## 区间表示方法
除了上述双闭区间外,常见的区间表示还有“左闭右开”区间,定义为 $[0, n)$ ,即左边界包含自身,右边界不包含自身。在该表示下,区间 $[i, j)$ 在 $i = j$ 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法:
```src
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
```
如下图所示,在两种区间表示下,二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间,因此通过指针 $i$ 和指针 $j$ 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错,**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png)
## 优点与局限性
二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。
- 二分查找的时间效率高。在大数据量下,对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如,当数据大小 $n = 2^{20}$ 时,线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环,而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
- 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法(例如哈希查找),二分查找更加节省空间。
然而,二分查找并非适用于所有情况,主要有以下原因。
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序,为了使用二分查找而专门进行排序,得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ,比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景,为保持数组有序性,需要将元素插入到特定位置,时间复杂度为 $O(n)$ ,也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式(非连续地)访问元素,而在链表中执行跳跃式访问的效率较低,因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下,线性查找性能更佳。在线性查找中,每轮只需 1 次判断操作;而在二分查找中,需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法(减法),共 4 ~ 6 个单元操作;因此,当数据量 $n$ 较小时,线性查找反而比二分查找更快。