* Sync recent changes to the revised Word. * Revised the preface chapter * Revised the introduction chapter * Revised the computation complexity chapter * Revised the chapter data structure * Revised the chapter array and linked list * Revised the chapter stack and queue * Revised the chapter hashing * Revised the chapter tree * Revised the chapter heap * Revised the chapter graph * Revised the chapter searching * Reivised the sorting chapter * Revised the divide and conquer chapter * Revised the chapter backtacking * Revised the DP chapter * Revised the greedy chapter * Revised the appendix chapter * Revised the preface chapter doubly * Revised the figures
3.5 KiB
桶排序
前述几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”,它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 O(n \log n)
。接下来,我们将探讨几种“非比较排序算法”,它们的时间复杂度可以达到线性阶。
「桶排序 bucket sort」是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶,每个桶对应一个数据范围,将数据平均分配到各个桶中;然后,在每个桶内部分别执行排序;最终按照桶的顺序将所有数据合并。
算法流程
考虑一个长度为 n
的数组,其元素是范围 [0, 1)
内的浮点数。桶排序的流程如下图所示。
- 初始化
k
个桶,将n
个元素分配到k
个桶中。 - 对每个桶分别执行排序(这里采用编程语言的内置排序函数)。
- 按照桶从小到大的顺序合并结果。
代码如下所示:
[file]{bucket_sort}-[class]{}-[func]{bucket_sort}
算法特性
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如,输入数据包含 100 万个元素,由于空间限制,系统内存无法一次性加载所有数据。此时,可以将数据分成 1000 个桶,然后分别对每个桶进行排序,最后将结果合并。
- 时间复杂度 $O(n + k)$ :假设元素在各个桶内平均分布,那么每个桶内的元素数量为
\frac{n}{k}
。假设排序单个桶使用O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})
时间,则排序所有桶使用O(n \log\frac{n}{k})
时间。当桶数量k
比较大时,时间复杂度则趋向于 $O(n)$ 。合并结果时需要遍历所有桶和元素,花费O(n + k)
时间。 - 自适应排序:在最差情况下,所有数据被分配到一个桶中,且排序该桶使用
O(n^2)
时间。 - 空间复杂度 $O(n + k)$、非原地排序:需要借助
k
个桶和总共n
个元素的额外空间。 - 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
如何实现平均分配
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 O(n)
,关键在于将元素均匀分配到各个桶中,因为实际数据往往不是均匀分布的。例如,我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中,但商品价格分布不均,低于 100 元的非常多,高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 个,各个桶中的商品数量差距会非常大。
为实现平均分配,我们可以先设定一条大致的分界线,将数据粗略地分到 3 个桶中。分配完毕后,再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶,直至所有桶中的元素数量大致相等。
如下图所示,这种方法本质上是创建一棵递归树,目标是让叶节点的值尽可能平均。当然,不一定要每轮将数据划分为 3 个桶,具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
如果我们提前知道商品价格的概率分布,则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线。值得注意的是,数据分布并不一定需要特意统计,也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。
如下图所示,我们假设商品价格服从正态分布,这样就可以合理地设定价格区间,从而将商品平均分配到各个桶中。