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2023-07-19 01:45:14 +08:00

6.2 KiB
Raw Blame History

汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中,我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而,对于即将介绍的汉诺塔问题,我们采用不同的分解策略。

!!! question

给定三根柱子,记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下,柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘,它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上,并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中,需要遵守以下规则:

1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出,从另一个柱子顶部放入;
2. 每次只能移动一个圆盘;
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上;

汉诺塔问题示例

在本文中,我们将规模为 i 的汉诺塔问题记做 $f(i)$ 。例如 f(3) 代表将 3 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

先考虑最简单的情况:对于问题 f(1) ,即当只有一个圆盘时,则将它直接从 A 移动至 C 即可。

=== "<1>" 规模为 1 问题的解

=== "<2>" hanota_f1_step2

对于问题 f(2) ,即当有两个圆盘时,由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上,因此需要借助 B 来完成移动,包括三步:

  1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B
  2. 再将大圆盘从 A 移至 C
  3. 最后将小圆盘从 B 移至 C

如下图所示,对于小圆盘的移动,我们称 C 为目标柱、B 为缓冲柱

=== "<1>" 规模为 2 问题的解

=== "<2>" hanota_f2_step2

=== "<3>" hanota_f2_step3

=== "<4>" hanota_f2_step4

对于问题 f(3) ,即当有三个圆盘时,情况变得稍微复杂了一些。由于已知 f(1)f(2) 的解,我们可以从分治角度思考,A 顶部的两个圆盘看做一个整体,并执行以下步骤:

  1. B 为目标柱、C 为缓冲柱,将两个圆盘从 A 移动至 B
  2. A 中剩余的一个圆盘从 A 移动至 C
  3. C 为目标柱、A 为缓冲柱,将两个圆盘从 B 移动至 C

这样三个圆盘就被顺利地从 A 移动至 C 了。

=== "<1>" 规模为 3 问题的解

=== "<2>" hanota_f3_step2

=== "<3>" hanota_f3_step3

=== "<4>" hanota_f3_step4

本质上看,我们将问题 f(3) 划分为两个子问题 f(2) 和子问题 $f(1)$。按顺序解决这三个子问题之后,原问题随之得到解决。以上分析说明了子问题的独立性,以及解是可以合并的

至此,我们可总结出汉诺塔问题的分治策略:将原问题 f(n) 划分为两个子问题 f(n-1) 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为:

  1. n-1 个圆盘借助 CA 移至 B
  2. 将剩余 1 个圆盘从 A 直接移至 C
  3. n-1 个圆盘借助 AB 移至 C

并且,对于这两个子问题 f(n-1) 可以通过相同的方式进行递归划分,直至达到最小子问题 f(1) 。而 f(1) 的解是已知的,只需一次移动操作即可。

汉诺塔问题的分治策略

在代码实现中,我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ,它的作用是将柱 src 顶部的 i 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar

=== "Java"

```java title="hanota.java"
[class]{hanota}-[func]{move}

[class]{hanota}-[func]{dfs}

[class]{hanota}-[func]{solveHanota}
```

=== "C++"

```cpp title="hanota.cpp"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Python"

```python title="hanota.py"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Go"

```go title="hanota.go"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="hanota.js"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="hanota.ts"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "C"

```c title="hanota.c"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "C#"

```csharp title="hanota.cs"
[class]{hanota}-[func]{move}

[class]{hanota}-[func]{dfs}

[class]{hanota}-[func]{solveHanota}
```

=== "Swift"

```swift title="hanota.swift"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Zig"

```zig title="hanota.zig"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Dart"

```dart title="hanota.dart"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

如下图所示,汉诺塔问题形成一个高度为 n 的递归树,每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 dfs() 函数,因此时间复杂度为 O(2^n) ,空间复杂度为 $O(n)$

汉诺塔问题的递归树

有趣的是,汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里,僧侣们有三根高大的钻石柱子,以及 64 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘,他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻,这个世界就会结束。

然而根据以上分析,即使僧侣们每秒钟移动一次,总共需要大约 2^{64} \approx 1.84×10^{19} 秒,合约 5850 亿年,远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以,倘若这个传说是真的,我们应该不需要担心世界末日的到来。