hello-algo/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md

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14.3   动态规划解题思路

上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题。

1. 如何判断一个问题是不是动态规划问题？
2. 求解动态规划问题该从何处入手，完整步骤是什么？

14.3.1   问题判断

总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解。然而，我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决。

适合用回溯解决的问题通常满足“决策树模型”，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。

换句话说，如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型，通常可以使用回溯来解决。

在此基础上，动态规划问题还有一些判断的“加分项”。

• 问题包含最大（小）或最多（少）等最优化描述。
• 问题的状态能够使用一个列表、多维矩阵或树来表示，并且一个状态与其周围的状态存在递推关系。

相应地，也存在一些“减分项”。

• 问题的目标是找出所有可能的解决方案，而不是找出最优解。
• 问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。

如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并在求解过程中验证它。

14.3.2   问题求解步骤

动态规划的解题流程会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 dp 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。

为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题“最小路径和”来举例。

!!! question

给定一个 $n \times m$ 的二维网格 `grid` ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。

图 14-10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。

图 14-10   最小路径和示例数据

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 dp 表

本题的每一轮的决策就是从当前格子向下或向右一步。设当前格子的行列索引为 [i, j] ，则向下或向右走一步后，索引变为 [i+1, j] 或 [i, j+1] 。因此，状态应包含行索引和列索引两个变量，记为 [i, j] 。

状态 [i, j] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [i, j] 的最小路径和，解记为 dp[i, j] 。

至此，我们就得到了图 14-11 所示的二维 dp 矩阵，其尺寸与输入网格 grid 相同。

图 14-11   状态定义与 dp 表

!!! note

动态规划和回溯过程可以被描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。

每个状态都对应一个子问题，我们会定义一个 $dp$ 表来存储所有子问题的解，状态的每个独立变量都是 $dp$ 表的一个维度。本质上看，$dp$ 表是状态和子问题的解之间的映射。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

对于状态 [i, j] ，它只能从上边格子 [i-1, j] 和左边格子 [i, j-1] 转移而来。因此最优子结构为：到达 [i, j] 的最小路径和由 [i, j-1] 的最小路径和与 [i-1, j] 的最小路径和，这两者较小的那一个决定。

根据以上分析，可推出图 14-12 所示的状态转移方程：

$$ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]

图 14-12   最优子结构与状态转移方程

!!! note

根据定义好的 $dp$ 表，思考原问题和子问题的关系，找出通过子问题的最优解来构造原问题的最优解的方法，即最优子结构。

一旦我们找到了最优子结构，就可以使用它来构建出状态转移方程。

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

在本题中，处在首行的状态只能向右转移，首列状态只能向下转移，因此首行 i = 0 和首列 j = 0 是边界条件。

如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。

图 14-13   边界条件与状态转移顺序

!!! note

边界条件在动态规划中用于初始化 $dp$ 表，在搜索中用于剪枝。

状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题的解时，所有它依赖的更小子问题的解都已经被正确地计算出来。

根据以上分析，我们已经可以直接写出动态规划代码。然而子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 \rightarrow 记忆化搜索 \rightarrow 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。

1.   方法一：暴力搜索

从状态 [i, j] 开始搜索，不断分解为更小的状态 [i-1, j] 和 [i, j-1] ，递归函数包括以下要素。

• 递归参数：状态 [i, j] 。
• 返回值：从 [0, 0] 到 [i, j] 的最小路径和 dp[i, j] 。
• 终止条件：当 i = 0 且 j = 0 时，返回代价 grid[0, 0] 。
• 剪枝：当 i < 0 时或 j < 0 时索引越界，此时返回代价 +\infty ，代表不可行。

=== "Python"

```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dfs(grid: list[list[int]], i: int, j: int) -> int:
    """最小路径和：暴力搜索"""
    # 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0 and j == 0:
        return grid[0][0]
    # 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 or j < 0:
        return inf
    # 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    left = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
    up = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
    # 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return min(left, up) + grid[i][j]
```

=== "C++"

```cpp title="min_path_sum.cpp"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(vector<vector<int>> &grid, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return INT_MAX;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
}
```

=== "Java"

```java title="min_path_sum.java"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Integer.MAX_VALUE;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return Math.min(left, up) + grid[i][j];
}
```

=== "C#"

```csharp title="min_path_sum.cs"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return int.MaxValue;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return Math.Min(left, up) + grid[i][j];
}
```

=== "Go"

```go title="min_path_sum.go"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
func minPathSumDFS(grid [][]int, i, j int) int {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0 && j == 0 {
        return grid[0][0]
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 || j < 0 {
        return math.MaxInt
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    left := minPathSumDFS(grid, i-1, j)
    up := minPathSumDFS(grid, i, j-1)
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return int(math.Min(float64(left), float64(up))) + grid[i][j]
}
```

=== "Swift"

```swift title="min_path_sum.swift"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
func minPathSumDFS(grid: [[Int]], i: Int, j: Int) -> Int {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0, j == 0 {
        return grid[0][0]
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 || j < 0 {
        return .max
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    let left = minPathSumDFS(grid: grid, i: i - 1, j: j)
    let up = minPathSumDFS(grid: grid, i: i, j: j - 1)
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return min(left, up) + grid[i][j]
}
```

=== "JS"

```javascript title="min_path_sum.js"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
function minPathSumDFS(grid, i, j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i === 0 && j === 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Infinity;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    const left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    const up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return Math.min(left, up) + grid[i][j];
}
```

=== "TS"

```typescript title="min_path_sum.ts"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
function minPathSumDFS(
    grid: Array<Array<number>>,
    i: number,
    j: number
): number {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i === 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Infinity;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    const left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    const up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return Math.min(left, up) + grid[i][j];
}
```

=== "Dart"

```dart title="min_path_sum.dart"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(List<List<int>> grid, int i, int j) {
  // 若为左上角单元格，则终止搜索
  if (i == 0 && j == 0) {
    return grid[0][0];
  }
  // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
  if (i < 0 || j < 0) {
    // 在 Dart 中，int 类型是固定范围的整数，不存在表示“无穷大”的值
    return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
  }
  // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
  int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
  int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
  // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
  return min(left, up) + grid[i][j];
}
```

=== "Rust"

```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
fn min_path_sum_dfs(grid: &Vec<Vec<i32>>, i: i32, j: i32) -> i32 {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0 && j == 0 {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 || j < 0 {
        return i32::MAX;
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    let left = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j);
    let up = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    std::cmp::min(left, up) + grid[i as usize][j as usize]
}
```

=== "C"

```c title="min_path_sum.c"
[class]{}-[func]{minPathSumDFS}
```

=== "Zig"

```zig title="min_path_sum.zig"
// 最小路径和：暴力搜索
fn minPathSumDFS(grid: anytype, i: i32, j: i32) i32 {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 and j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 or j < 0) {
        return std.math.maxInt(i32);
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    var left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
    var up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    return @min(left, up) + grid[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
}
```

图 14-14 给出了以 dp[2, 1] 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 grid 的尺寸变大而急剧增多。

本质上看，造成重叠子问题的原因为：存在多条路径可以从左上角到达某一单元格。

图 14-14   暴力搜索递归树

每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 m + n - 2 步，所以最差时间复杂度为 O(2^{m + n}) 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。

2.   方法二：记忆化搜索

我们引入一个和网格 grid 相同尺寸的记忆列表 mem ，用于记录各个子问题的解，并将重叠子问题进行剪枝。

=== "Python"

```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dfs_mem(
    grid: list[list[int]], mem: list[list[int]], i: int, j: int
) -> int:
    """最小路径和：记忆化搜索"""
    # 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0 and j == 0:
        return grid[0][0]
    # 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 or j < 0:
        return inf
    # 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][j] != -1:
        return mem[i][j]
    # 左边和上边单元格的最小路径代价
    left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
    up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
    # 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
    return mem[i][j]
```

=== "C++"

```cpp title="min_path_sum.cpp"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(vector<vector<int>> &grid, vector<vector<int>> &mem, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return INT_MAX;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][j] != -1) {
        return mem[i][j];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
    return mem[i][j];
}
```

=== "Java"

```java title="min_path_sum.java"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Integer.MAX_VALUE;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][j] != -1) {
        return mem[i][j];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
    return mem[i][j];
}
```

=== "C#"

```csharp title="min_path_sum.cs"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return int.MaxValue;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][j] != -1) {
        return mem[i][j];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = Math.Min(left, up) + grid[i][j];
    return mem[i][j];
}
```

=== "Go"

```go title="min_path_sum.go"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
func minPathSumDFSMem(grid, mem [][]int, i, j int) int {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0 && j == 0 {
        return grid[0][0]
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 || j < 0 {
        return math.MaxInt
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][j] != -1 {
        return mem[i][j]
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    left := minPathSumDFSMem(grid, mem, i-1, j)
    up := minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j-1)
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = int(math.Min(float64(left), float64(up))) + grid[i][j]
    return mem[i][j]
}
```

=== "Swift"

```swift title="min_path_sum.swift"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
func minPathSumDFSMem(grid: [[Int]], mem: inout [[Int]], i: Int, j: Int) -> Int {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0, j == 0 {
        return grid[0][0]
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 || j < 0 {
        return .max
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][j] != -1 {
        return mem[i][j]
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    let left = minPathSumDFSMem(grid: grid, mem: &mem, i: i - 1, j: j)
    let up = minPathSumDFSMem(grid: grid, mem: &mem, i: i, j: j - 1)
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
    return mem[i][j]
}
```

=== "JS"

```javascript title="min_path_sum.js"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
function minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j) {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i === 0 && j === 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Infinity;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][j] !== -1) {
        return mem[i][j];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    const left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    const up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
    return mem[i][j];
}
```

=== "TS"

```typescript title="min_path_sum.ts"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
function minPathSumDFSMem(
    grid: Array<Array<number>>,
    mem: Array<Array<number>>,
    i: number,
    j: number
): number {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i === 0 && j === 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Infinity;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[i][j] != -1) {
        return mem[i][j];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    const left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    const up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
    return mem[i][j];
}
```

=== "Dart"

```dart title="min_path_sum.dart"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(List<List<int>> grid, List<List<int>> mem, int i, int j) {
  // 若为左上角单元格，则终止搜索
  if (i == 0 && j == 0) {
    return grid[0][0];
  }
  // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
  if (i < 0 || j < 0) {
    // 在 Dart 中，int 类型是固定范围的整数，不存在表示“无穷大”的值
    return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
  }
  // 若已有记录，则直接返回
  if (mem[i][j] != -1) {
    return mem[i][j];
  }
  // 左边和上边单元格的最小路径代价
  int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
  int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
  // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
  mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j];
  return mem[i][j];
}
```

=== "Rust"

```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
fn min_path_sum_dfs_mem(grid: &Vec<Vec<i32>>, mem: &mut Vec<Vec<i32>>, i: i32, j: i32) -> i32 {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if i == 0 && j == 0 {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if i < 0 || j < 0 {
        return i32::MAX;
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if mem[i as usize][j as usize] != -1 {
        return mem[i as usize][j as usize];
    }
    // 左边和上边单元格的最小路径代价
    let left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j);
    let up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1);
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[i as usize][j as usize] = std::cmp::min(left, up) + grid[i as usize][j as usize];
    mem[i as usize][j as usize]
}
```

=== "C"

```c title="min_path_sum.c"
[class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
```

=== "Zig"

```zig title="min_path_sum.zig"
// 最小路径和：记忆化搜索
fn minPathSumDFSMem(grid: anytype, mem: anytype, i: i32, j: i32) i32 {
    // 若为左上角单元格，则终止搜索
    if (i == 0 and j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
    if (i < 0 or j < 0) {
        return std.math.maxInt(i32);
    }
    // 若已有记录，则直接返回
    if (mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))] != -1) {
        return mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
    }
    // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
    var left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
    var up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
    // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
    mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))] = @min(left, up) + grid[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
    return mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))];
}
```

如图 14-15 所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 O(nm) 。

图 14-15   记忆化搜索递归树

3.   方法三：动态规划

基于迭代实现动态规划解法。

=== "Python"

```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dp(grid: list[list[int]]) -> int:
    """最小路径和：动态规划"""
    n, m = len(grid), len(grid[0])
    # 初始化 dp 表
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    # 状态转移：首行
    for j in range(1, m):
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
    # 状态转移：首列
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
    # 状态转移：其余行列
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
    return dp[n - 1][m - 1]
```

=== "C++"

```cpp title="min_path_sum.cpp"
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(vector<vector<int>> &grid) {
    int n = grid.size(), m = grid[0].size();
    // 初始化 dp 表
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}
```

=== "Java"

```java title="min_path_sum.java"
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(int[][] grid) {
    int n = grid.length, m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    int[][] dp = new int[n][m];
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}
```

=== "C#"

```csharp title="min_path_sum.cs"
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(int[][] grid) {
    int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
    // 初始化 dp 表
    int[,] dp = new int[n, m];
    dp[0, 0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0, j] = dp[0, j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[i, j] = Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1, m - 1];
}
```

=== "Go"

```go title="min_path_sum.go"
/* 最小路径和：动态规划 */
func minPathSumDP(grid [][]int) int {
    n, m := len(grid), len(grid[0])
    // 初始化 dp 表
    dp := make([][]int, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[i] = make([]int, m)
    }
    dp[0][0] = grid[0][0]
    // 状态转移：首行
    for j := 1; j < m; j++ {
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
    }
    // 状态转移：首列
    for i := 1; i < n; i++ {
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    }
    // 状态转移：其余行列
    for i := 1; i < n; i++ {
        for j := 1; j < m; j++ {
            dp[i][j] = int(math.Min(float64(dp[i][j-1]), float64(dp[i-1][j]))) + grid[i][j]
        }
    }
    return dp[n-1][m-1]
}
```

=== "Swift"

```swift title="min_path_sum.swift"
/* 最小路径和：动态规划 */
func minPathSumDP(grid: [[Int]]) -> Int {
    let n = grid.count
    let m = grid[0].count
    // 初始化 dp 表
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: m), count: n)
    dp[0][0] = grid[0][0]
    // 状态转移：首行
    for j in stride(from: 1, to: m, by: 1) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
    }
    // 状态转移：首列
    for i in stride(from: 1, to: n, by: 1) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
    }
    // 状态转移：其余行列
    for i in stride(from: 1, to: n, by: 1) {
        for j in stride(from: 1, to: m, by: 1) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1]
}
```

=== "JS"

```javascript title="min_path_sum.js"
/* 最小路径和：动态规划 */
function minPathSumDP(grid) {
    const n = grid.length,
        m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = Array.from({ length: n }, () =>
        Array.from({ length: m }, () => 0)
    );
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (let j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}
```

=== "TS"

```typescript title="min_path_sum.ts"
/* 最小路径和：动态规划 */
function minPathSumDP(grid: Array<Array<number>>): number {
    const n = grid.length,
        m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = Array.from({ length: n }, () =>
        Array.from({ length: m }, () => 0)
    );
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (let j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        for (let j: number = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}
```

=== "Dart"

```dart title="min_path_sum.dart"
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(List<List<int>> grid) {
  int n = grid.length, m = grid[0].length;
  // 初始化 dp 表
  List<List<int>> dp = List.generate(n, (i) => List.filled(m, 0));
  dp[0][0] = grid[0][0];
  // 状态转移：首行
  for (int j = 1; j < m; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
  }
  // 状态转移：首列
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
  }
  // 状态转移：其余行列
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    for (int j = 1; j < m; j++) {
      dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
    }
  }
  return dp[n - 1][m - 1];
}
```

=== "Rust"

```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：动态规划 */
fn min_path_sum_dp(grid: &Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
    let (n, m) = (grid.len(), grid[0].len());
    // 初始化 dp 表
    let mut dp = vec![vec![0; m]; n];
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for j in 1..m {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for i in 1..n {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for i in 1..n {
        for j in 1..m {
            dp[i][j] = std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    dp[n - 1][m - 1]
}
```

=== "C"

```c title="min_path_sum.c"
[class]{}-[func]{minPathSumDP}
```

=== "Zig"

```zig title="min_path_sum.zig"
// 最小路径和：动态规划
fn minPathSumDP(comptime grid: anytype) i32 {
    comptime var n = grid.len;
    comptime var m = grid[0].len;
    // 初始化 dp 表
    var dp = [_][m]i32{[_]i32{0} ** m} ** n;
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (1..m) |j| {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：首列
    for (1..n) |i| {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (1..n) |i| {
        for (1..m) |j| {
            dp[i][j] = @min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[n - 1][m - 1];
}
```

图 14-16 展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，因此时间复杂度为 $O(nm)$ 。

数组 dp 大小为 n \times m ，因此空间复杂度为 $O(nm)$ 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

=== "<12>"

图 14-16   最小路径和的动态规划过程

4.   空间优化

由于每个格子只与其左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 dp 表。

请注意，因为数组 dp 只能表示一行的状态，所以我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。

=== "Python"

```python title="min_path_sum.py"
def min_path_sum_dp_comp(grid: list[list[int]]) -> int:
    """最小路径和：空间优化后的动态规划"""
    n, m = len(grid), len(grid[0])
    # 初始化 dp 表
    dp = [0] * m
    # 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0]
    for j in range(1, m):
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
    # 状态转移：其余行
    for i in range(1, n):
        # 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
        # 状态转移：其余列
        for j in range(1, m):
            dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
    return dp[m - 1]
```

=== "C++"

```cpp title="min_path_sum.cpp"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(vector<vector<int>> &grid) {
    int n = grid.size(), m = grid[0].size();
    // 初始化 dp 表
    vector<int> dp(m);
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}
```

=== "Java"

```java title="min_path_sum.java"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(int[][] grid) {
    int n = grid.length, m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    int[] dp = new int[m];
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}
```

=== "C#"

```csharp title="min_path_sum.cs"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(int[][] grid) {
    int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
    // 初始化 dp 表
    int[] dp = new int[m];
    dp[0] = grid[0][0];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = Math.Min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}
```

=== "Go"

```go title="min_path_sum.go"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
func minPathSumDPComp(grid [][]int) int {
    n, m := len(grid), len(grid[0])
    // 初始化 dp 表
    dp := make([]int, m)
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0]
    for j := 1; j < m; j++ {
        dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]
    }
    // 状态转移：其余行列
    for i := 1; i < n; i++ {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
        // 状态转移：其余列
        for j := 1; j < m; j++ {
            dp[j] = int(math.Min(float64(dp[j-1]), float64(dp[j]))) + grid[i][j]
        }
    }
    return dp[m-1]
}
```

=== "Swift"

```swift title="min_path_sum.swift"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
func minPathSumDPComp(grid: [[Int]]) -> Int {
    let n = grid.count
    let m = grid[0].count
    // 初始化 dp 表
    var dp = Array(repeating: 0, count: m)
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0]
    for j in stride(from: 1, to: m, by: 1) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
    }
    // 状态转移：其余行
    for i in stride(from: 1, to: n, by: 1) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
        // 状态转移：其余列
        for j in stride(from: 1, to: m, by: 1) {
            dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
        }
    }
    return dp[m - 1]
}
```

=== "JS"

```javascript title="min_path_sum.js"
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
function minPathSumDPComp(grid) {
    const n = grid.length,
        m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = new Array(m);
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for (let j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}
```

=== "TS"

```typescript title="min_path_sum.ts"
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
function minPathSumDPComp(grid: Array<Array<number>>): number {
    const n = grid.length,
        m = grid[0].length;
    // 初始化 dp 表
    const dp = new Array(m);
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for (let j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (let i = 1; i < n; i++) {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}
```

=== "Dart"

```dart title="min_path_sum.dart"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(List<List<int>> grid) {
  int n = grid.length, m = grid[0].length;
  // 初始化 dp 表
  List<int> dp = List.filled(m, 0);
  dp[0] = grid[0][0];
  for (int j = 1; j < m; j++) {
    dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
  }
  // 状态转移：其余行
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    // 状态转移：首列
    dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
    // 状态转移：其余列
    for (int j = 1; j < m; j++) {
      dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
    }
  }
  return dp[m - 1];
}
```

=== "Rust"

```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：空间优化后的动态规划 */
fn min_path_sum_dp_comp(grid: &Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
    let (n, m) = (grid.len(), grid[0].len());
    // 初始化 dp 表
    let mut dp = vec![0; m];
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for j in 1..m {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for i in 1..n {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 状态转移：其余列
        for j in 1..m {
            dp[j] = std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    dp[m - 1]
}
```

=== "C"

```c title="min_path_sum.c"
[class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
```

=== "Zig"

```zig title="min_path_sum.zig"
// 最小路径和：空间优化后的动态规划
fn minPathSumDPComp(comptime grid: anytype) i32 {
    comptime var n = grid.len;
    comptime var m = grid[0].len;
    // 初始化 dp 表
    var dp = [_]i32{0} ** m;
    // 状态转移：首行
    dp[0] = grid[0][0];
    for (1..m) |j| {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
    }
    // 状态转移：其余行
    for (1..n) |i| {
        // 状态转移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        for (1..m) |j| {
            dp[j] = @min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[m - 1];
}
```