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# AVL 树 *
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在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$。
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如下图所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。
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再例如，在以下完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
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G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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## AVL 树常见术语
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「AVL 树」既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索树」。
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### 节点高度
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在操作 AVL 树时，我们需要获取节点的高度，因此需要为 AVL 树的节点类添加 `height` 变量。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* AVL 树节点类 */
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class TreeNode {
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public int val; // 节点值
|
||
public int height; // 节点高度
|
||
public TreeNode left; // 左子节点
|
||
public TreeNode right; // 右子节点
|
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public TreeNode(int x) { val = x; }
|
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}
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||
```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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/* AVL 树节点类 */
|
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struct TreeNode {
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int val{}; // 节点值
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int height = 0; // 节点高度
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||
TreeNode *left{}; // 左子节点
|
||
TreeNode *right{}; // 右子节点
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||
TreeNode() = default;
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explicit TreeNode(int x) : val(x){}
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};
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```
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=== "Python"
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||
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```python title=""
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class TreeNode:
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"""AVL 树节点类"""
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def __init__(self, val: int):
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self.val: int = val # 节点值
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||
self.height: int = 0 # 节点高度
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self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子节点引用
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||
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点引用
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||
```
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=== "Go"
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||
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||
```go title=""
|
||
/* AVL 树节点结构体 */
|
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type TreeNode struct {
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Val int // 节点值
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Height int // 节点高度
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||
Left *TreeNode // 左子节点引用
|
||
Right *TreeNode // 右子节点引用
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||
}
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||
```
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=== "JavaScript"
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||
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```javascript title=""
|
||
/* AVL 树节点类 */
|
||
class TreeNode {
|
||
val; // 节点值
|
||
height; //节点高度
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||
left; // 左子节点指针
|
||
right; // 右子节点指针
|
||
constructor(val, left, right, height) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val;
|
||
this.height = height === undefined ? 0 : height;
|
||
this.left = left === undefined ? null : left;
|
||
this.right = right === undefined ? null : right;
|
||
}
|
||
}
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||
```
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=== "TypeScript"
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||
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```typescript title=""
|
||
/* AVL 树节点类 */
|
||
class TreeNode {
|
||
val: number; // 节点值
|
||
height: number; // 节点高度
|
||
left: TreeNode | null; // 左子节点指针
|
||
right: TreeNode | null; // 右子节点指针
|
||
constructor(val?: number, height?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val;
|
||
this.height = height === undefined ? 0 : height;
|
||
this.left = left === undefined ? null : left;
|
||
this.right = right === undefined ? null : right;
|
||
}
|
||
}
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||
```
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||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title=""
|
||
/* AVL 树节点结构体 */
|
||
struct TreeNode {
|
||
int val;
|
||
int height;
|
||
struct TreeNode *left;
|
||
struct TreeNode *right;
|
||
};
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typedef struct TreeNode TreeNode;
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||
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/* 构造函数 */
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TreeNode *newTreeNode(int val) {
|
||
TreeNode *node;
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||
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
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||
node->val = val;
|
||
node->height = 0;
|
||
node->left = NULL;
|
||
node->right = NULL;
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return node;
|
||
}
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```
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=== "C#"
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```csharp title=""
|
||
/* AVL 树节点类 */
|
||
class TreeNode {
|
||
public int val; // 节点值
|
||
public int height; // 节点高度
|
||
public TreeNode? left; // 左子节点
|
||
public TreeNode? right; // 右子节点
|
||
public TreeNode(int x) { val = x; }
|
||
}
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```
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=== "Swift"
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```swift title=""
|
||
/* AVL 树节点类 */
|
||
class TreeNode {
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var val: Int // 节点值
|
||
var height: Int // 节点高度
|
||
var left: TreeNode? // 左子节点
|
||
var right: TreeNode? // 右子节点
|
||
|
||
init(x: Int) {
|
||
val = x
|
||
height = 0
|
||
}
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}
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```
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=== "Zig"
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```zig title=""
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```
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=== "Dart"
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```dart title=""
|
||
/* AVL 树节点类 */
|
||
class TreeNode {
|
||
int val; // 节点值
|
||
int height; // 节点高度
|
||
TreeNode? left; // 左子节点
|
||
TreeNode? right; // 右子节点
|
||
TreeNode(this.val, [this.height = 0, this.left, this.right]);
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}
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```
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「节点高度」是指从该节点到最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{__update_height}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{height}
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[class]{aVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{#updateHeight}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
|
||
```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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[class]{}-[func]{height}
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[class]{}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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||
```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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||
```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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||
```
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=== "Dart"
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```dart title="avl_tree.dart"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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### 节点平衡因子
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节点的「平衡因子 Balance Factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
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[class]{AVLTree}-[func]{balance_factor}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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[class]{}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="avl_tree.dart"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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!!! note
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设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
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## AVL 树旋转
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AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，**旋转操作既能保持树的「二叉搜索树」属性，也能使树重新变为「平衡二叉树」**。
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我们将平衡因子绝对值 $> 1$ 的节点称为「失衡节点」。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面我们将详细介绍这些旋转操作。
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### 右旋
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如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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此外，如果节点 `child` 本身有右子节点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。
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“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
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[class]{AVLTree}-[func]{__right_rotate}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
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[class]{AVLTree}-[func]{#rightRotate}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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[class]{}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="avl_tree.dart"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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### 左旋
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相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行「左旋」操作。
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同理，若节点 `child` 本身有左子节点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子节点。
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可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们可以轻松地从右旋的代码推导出左旋的代码。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` ，将所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__left_rotate}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{#leftRotate}
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||
```
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=== "TypeScript"
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|
||
```typescript title="avl_tree.ts"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
|
||
```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{}-[func]{leftRotate}
|
||
```
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=== "C#"
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||
|
||
```csharp title="avl_tree.cs"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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||
```
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|
||
=== "Swift"
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||
|
||
```swift title="avl_tree.swift"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "Zig"
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||
|
||
```zig title="avl_tree.zig"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
|
||
```
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||
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||
=== "Dart"
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|
||
```dart title="avl_tree.dart"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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||
```
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### 先左旋后右旋
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对于下图中的失衡节点 3，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先左旋后右旋，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
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### 先右旋后左旋
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同理，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先右旋后左旋，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
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### 旋转的选择
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下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。
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在代码中，我们通过判断失衡节点的平衡因子以及较高一侧子节点的平衡因子的正负号，来确定失衡节点属于上图中的哪种情况。
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<div class="center-table" markdown>
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| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
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| ---------------- | ---------------- | ---------------- |
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| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
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| $>0$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
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||
| $<0$ （即右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
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||
| $<0$ （即右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
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||
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</div>
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||
为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。**有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转，使失衡节点重新恢复平衡**。
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||
=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
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||
```
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=== "C++"
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||
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```cpp title="avl_tree.cpp"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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=== "Python"
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|
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```python title="avl_tree.py"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__rotate}
|
||
```
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||
=== "Go"
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||
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||
```go title="avl_tree.go"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="avl_tree.js"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{#rotate}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="avl_tree.ts"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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||
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||
=== "C"
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|
||
```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{}-[func]{rotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="avl_tree.cs"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "Swift"
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||
|
||
```swift title="avl_tree.swift"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
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[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="avl_tree.dart"
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[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
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```
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## AVL 树常用操作
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### 插入节点
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「AVL 树」的节点插入操作与「二叉搜索树」在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，**我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
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||
```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
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||
```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
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[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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[class]{AVLTree}-[func]{__insert_helper}
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||
```
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=== "Go"
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||
```go title="avl_tree.go"
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||
[class]{aVLTree}-[func]{insert}
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||
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||
[class]{aVLTree}-[func]{insertHelper}
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||
```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
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[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{#insertHelper}
|
||
```
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=== "TypeScript"
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||
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||
```typescript title="avl_tree.ts"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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=== "C"
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||
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||
```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{insert}
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||
|
||
[class]{}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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||
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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||
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||
=== "Zig"
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||
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||
```zig title="avl_tree.zig"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
|
||
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||
=== "Dart"
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||
|
||
```dart title="avl_tree.dart"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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||
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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### 删除节点
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类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
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=== "Java"
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||
```java title="avl_tree.java"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
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||
```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
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||
```
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||
=== "Python"
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||
```python title="avl_tree.py"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__remove_helper}
|
||
```
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|
||
=== "Go"
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||
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||
```go title="avl_tree.go"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{remove}
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||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
```
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||
=== "JavaScript"
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||
```javascript title="avl_tree.js"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{#removeHelper}
|
||
```
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||
=== "TypeScript"
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||
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||
```typescript title="avl_tree.ts"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
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||
```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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||
[class]{aVLTree}-[func]{removeNode}
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[class]{}-[func]{removeHelper}
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||
```
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=== "C#"
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||
```csharp title="avl_tree.cs"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
```
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=== "Swift"
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||
```swift title="avl_tree.swift"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
```
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=== "Zig"
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||
```zig title="avl_tree.zig"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
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||
```
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=== "Dart"
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||
```dart title="avl_tree.dart"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
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```
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### 查找节点
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AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。
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## AVL 树典型应用
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- 组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景；
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- 用于构建数据库中的索引系统；
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!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
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红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除节点所需的旋转操作相对较少，在节点增删操作上的平均效率高于 AVL 树。
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