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# 建堆操作 *
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如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。
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## 两种建堆方法
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### 借助入堆方法实现
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最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，**再将列表元素依次入堆即可**。
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设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，在依次入堆时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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### 基于堆化操作实现
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有趣的是，存在一种更加高效的建堆方法，时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
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=== "Java"
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```java title="my_heap.java"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="my_heap.cpp"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "Python"
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```python title="my_heap.py"
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[class]{MaxHeap}-[func]{__init__}
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```
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=== "Go"
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```go title="my_heap.go"
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[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="my_heap.js"
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[class]{MaxHeap}-[func]{constructor}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="my_heap.ts"
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[class]{MaxHeap}-[func]{constructor}
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```
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=== "C"
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```c title="my_heap.c"
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[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="my_heap.cs"
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[class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="my_heap.swift"
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[class]{MaxHeap}-[func]{init}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="my_heap.zig"
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[class]{MaxHeap}-[func]{init}
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```
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## 复杂度分析
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第二种建堆方法的时间复杂度为什么是 $O(n)$ 呢？我们来展开推算一下。
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- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
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- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
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将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。这个估算结果不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
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下面我们来展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。
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因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到 **所有结点的堆化的迭代次数总和**。
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$$
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T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
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$$
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化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
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$$
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\begin{aligned}
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T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
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2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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\end{aligned}
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$$
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**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
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$$
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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$$
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观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
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$$
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\begin{aligned}
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T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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& = 2^{h+1} - h \newline
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& = O(2^h)
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\end{aligned}
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$$
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进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
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