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introduction, computational complexity.

2023-08-20 14:51:39 +08:00

19 KiB

Raw Blame History

堆

「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，可分为两种类型：

「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 \geq 其子节点的值。
「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 \leq 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：

最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
我们将二叉树的根节点称为「堆顶」，将底层最靠右的节点称为「堆底」。
对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。

堆常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将「优先队列」和「堆」看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。

堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。

表：堆的操作效率

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	`O(\log n)`
pop()	堆顶元素出堆	`O(\log n)`
peek()	访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	`O(1)`
size()	获取堆的元素数量	`O(1)`
isEmpty()	判断堆是否为空	`O(1)`

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

!!! tip

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。

=== "Java"

```java title="heap.java"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = heap.poll();  // 5
peek = heap.poll();  // 4
peek = heap.poll();  // 3
peek = heap.poll();  // 2
peek = heap.poll();  // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
```

=== "C++"

```cpp title="heap.cpp"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大顶堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;

/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();

/* 输入列表并建堆 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
```

=== "Python"

```python title="heap.py"
# 初始化小顶堆
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大顶堆
max_heap, flag = [], -1

# Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
# 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆
# 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆

# 元素入堆
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)

# 获取堆顶元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5

# 堆顶元素出堆
# 出堆元素会形成一个从大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1

# 获取堆大小
size: int = len(max_heap)

# 判断堆是否为空
is_empty: bool = not max_heap

# 输入列表并建堆
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)
```

=== "Go"

```go title="heap.go"
// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any

// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
    // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
    // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
    *h = append(*h, x.(int))
}

// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
    // 待出堆元素存放在最后
    last := (*h)[len(*h)-1]
    *h = (*h)[:len(*h)-1]
    return last
}

// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
    return len(*h)
}

// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
    // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
    return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}

// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
    (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}

// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
    return (*h)[0]
}

/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
    /* 初始化堆 */
    // 初始化大顶堆
    maxHeap := &intHeap{}
    heap.Init(maxHeap)
    /* 元素入堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
    heap.Push(maxHeap, 1)
    heap.Push(maxHeap, 3)
    heap.Push(maxHeap, 2)
    heap.Push(maxHeap, 4)
    heap.Push(maxHeap, 5)

    /* 获取堆顶元素 */
    top := maxHeap.Top()
    fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)

    /* 堆顶元素出堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
    heap.Pop(maxHeap) // 5
    heap.Pop(maxHeap) // 4
    heap.Pop(maxHeap) // 3
    heap.Pop(maxHeap) // 2
    heap.Pop(maxHeap) // 1

    /* 获取堆大小 */
    size := len(*maxHeap)
    fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)

    /* 判断堆是否为空 */
    isEmpty := len(*maxHeap) == 0
    fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}
```

=== "JS"

```javascript title="heap.js"
// JavaScript 未提供内置 Heap 类
```

=== "TS"

```typescript title="heap.ts"
// TypeScript 未提供内置 Heap 类
```

=== "C"

```c title="heap.c"
// C 未提供内置 Heap 类
```

=== "C#"

```csharp title="heap.cs"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
PriorityQueue<int, int> minHeap = new PriorityQueue<int, int>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new PriorityQueue<int, int>(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));

/* 元素入堆 */
maxHeap.Enqueue(1, 1);
maxHeap.Enqueue(3, 3);
maxHeap.Enqueue(2, 2);
maxHeap.Enqueue(5, 5);
maxHeap.Enqueue(4, 4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.Peek();//5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.Dequeue();  // 5
peek = maxHeap.Dequeue();  // 4
peek = maxHeap.Dequeue();  // 3
peek = maxHeap.Dequeue();  // 2
peek = maxHeap.Dequeue();  // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.Count;

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<int, int>(new List<(int, int)> { (1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4), });
```

=== "Swift"

```swift title="heap.swift"
// Swift 未提供内置 Heap 类
```

=== "Zig"

```zig title="heap.zig"

```

=== "Dart"

```dart title="heap.dart"
// Dart 未提供内置 Heap 类
```

=== "Rust"

```rust title="heap.rs"

```

堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 \geq 替换为 \leq ）。感兴趣的读者可以自行实现。

堆的存储与表示

我们在二叉树章节中学习到，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

具体而言，给定索引 i ，其左子节点索引为 2i + 1 ，右子节点索引为 2i + 2 ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
[class]{maxHeap}-[func]{left}

[class]{maxHeap}-[func]{right}

[class]{maxHeap}-[func]{parent}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
[class]{MaxHeap}-[func]{#left}

[class]{MaxHeap}-[func]{#right}

[class]{MaxHeap}-[func]{#parent}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
[class]{maxHeap}-[func]{left}

[class]{maxHeap}-[func]{right}

[class]{maxHeap}-[func]{parent}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
[class]{MaxHeap}-[func]{_left}

[class]{MaxHeap}-[func]{_right}

[class]{MaxHeap}-[func]{_parent}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{left}

[class]{MaxHeap}-[func]{right}

[class]{MaxHeap}-[func]{parent}
```

访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
[class]{maxHeap}-[func]{peek}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
[class]{maxHeap}-[func]{peek}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{peek}
```

元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 Heapify」。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。具体来说，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

设节点总数为 n ，则树的高度为 O(\log n) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 O(\log n) ，元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{sift_up}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
[class]{maxHeap}-[func]{push}

[class]{maxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{#siftUp}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
[class]{maxHeap}-[func]{push}

[class]{maxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{push}

[class]{MaxHeap}-[func]{sift_up}
```

堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：

交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）。
交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）。
从根节点开始，从顶至底执行堆化。

顾名思义，从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换；然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(\log n) 。

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{sift_down}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
[class]{maxHeap}-[func]{pop}

[class]{maxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{#siftDown}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
[class]{maxHeap}-[func]{pop}

[class]{maxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
[class]{MaxHeap}-[func]{pop}

[class]{MaxHeap}-[func]{sift_down}
```

堆常见应用

优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(\log n) ，而建队操作为 O(n) ，这些操作都非常高效。
堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见后续的堆排序章节。
获取最大的 k 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

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堆

堆常用操作

堆的实现

堆的存储与表示

访问堆顶元素

元素入堆

堆顶元素出堆

堆常见应用

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