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二分查找边界
上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素。
为了查找最左一个 target ，我们可以先进行二分查找，找到任意一个目标元素，再加一个向左遍历的线性查找，找到最左的 target 返回即可。然而，由于加入了线性查找，这个方法的时间复杂度可能会劣化至 O(n) 。
查找最左一个元素
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 。请查找并返回元素 `target` 在该数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组可能包含重复元素。
实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变，先计算中点索引 m ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：
- 当
nums[m] < target或nums[m] > target时，说明还没有找到target，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。 - 当
nums[m] == target时，说明找到了一个目标元素，此时应该如何缩小区间？
对于该情况，我们可以将查找目标想象为 leftarget，其中 leftarget 表示从右到左首个小于 target 的元素。具体来说：
- 当
nums[m] == target时，说明leftarget在区间[i, m - 1]中，因此采用j = m - 1来缩小区间，从而使指针j向leftarget收缩靠近。 - 二分查找完成后，
i指向最左一个target，j指向leftarget，因此最终返回索引i即可。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
注意，数组可能不包含目标元素 target 。因此在函数返回前，我们需要先判断 nums[i] 与 target 是否相等。另外，当 target 大于数组中的所有元素时，索引 i 会越界，因此也需要额外判断。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
[class]{}-[func]{binary_search_left_edge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
查找最右一个元素
类似地，我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 target 的元素为 rightarget 。
- 当
nums[m] == target时，说明rightarget在区间[m + 1, j]中，因此执行i = m + 1将搜索区间向右收缩。 - 完成二分后，
i指向rightarget，j指向最右一个target，因此最终返回索引j即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
观察下图，搜索最右元素时指针 j 起到了搜索最左元素时指针 i 的作用，反之亦然。本质上看，搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的。
!!! tip
以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。