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7.1.   二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以节点为单位存储的，节点包含「值」和两个「指针」。

=== "Java"

```java title=""
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    int val;         // 节点值
    TreeNode left;   // 左子节点指针
    TreeNode right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode *left;   // 左子节点指针
    TreeNode *right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```

=== "Python"

```python title=""
class TreeNode:
    """二叉树节点类"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val                   # 节点值
        self.left: Optional[TreeNode] = None  # 左子节点指针
        self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针
```

=== "Go"

```go title=""
/* 二叉树节点结构体 */
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
/* 节点初始化方法 */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil,
        Right: nil,
        Val:   v,
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
/* 二叉树节点类 */
function TreeNode(val, left, right) {
    this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
    this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
    this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
        this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
        this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
    }
}
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode? left;   // 左子节点指针
    TreeNode? right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    var val: Int // 节点值
    var left: TreeNode? // 左子节点指针
    var right: TreeNode? // 右子节点指针

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，并且称该节点为两个子节点的「父节点」。给定二叉树某节点，将“左子节点及其以下节点形成的树”称为该节点的「左子树」，右子树同理。

除了叶节点外，每个节点都有子节点和子树。例如，若将下图的“节点 2”看作父节点，那么其左子节点和右子节点分别为“节点 4”和“节点 5”，左子树和右子树分别为“节点 4 及其以下节点形成的树”和“节点 5 及其以下节点形成的树”。

Fig. 父节点、子节点、子树

7.1.1.   二叉树常见术语

二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。

• 「根节点 Root Node」：二叉树最顶层的节点，其没有父节点；
• 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针都指向 \text{null} ；
• 节点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根节点所处层为 1 ；
• 节点「度 Degree」：节点的子节点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
• 「边 Edge」：连接两个节点的边，即节点指针；
• 二叉树「高度」：二叉树中根节点到最远叶节点走过边的数量；
• 节点「深度 Depth」 ：根节点到该节点走过边的数量；
• 节点「高度 Height」：最远叶节点到该节点走过边的数量；

Fig. 二叉树的常用术语

!!! tip "高度与深度的定义"

值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过节点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。

7.1.2.   二叉树基本操作

初始化二叉树。与链表类似，先初始化节点，再构建引用指向（即指针）。

=== "Java"

```java title="binary_tree.java"
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```

=== "Python"

```python title="binary_tree.py"
# 初始化二叉树
# 初始化节点
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```

=== "Go"

```go title="binary_tree.go"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_tree.js"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_tree.ts"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "C"

```c title="binary_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree.cs"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "Swift"

```swift title="binary_tree.swift"
// 初始化节点
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
```

=== "Zig"

```zig title="binary_tree.zig"

```

插入与删除节点。与链表类似，插入与删除节点都可以通过修改指针实现。

Fig. 在二叉树中插入与删除节点

=== "Java"

```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;
```

=== "Python"

```python title="binary_tree.py"
# 插入与删除节点
p = TreeNode(0)
# 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = p
p.left = n2
# 删除节点 P
n1.left = n2
```

=== "Go"

```go title="binary_tree.go"
/* 插入与删除节点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// 删除节点 P
n1.Left = n2
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_tree.js"
/* 插入与删除节点 */
let P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_tree.ts"
/* 插入与删除节点 */
const P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```

=== "C"

```c title="binary_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree.cs"
/* 插入与删除节点 */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
```

=== "Swift"

```swift title="binary_tree.swift"
let P = TreeNode(x: 0)
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P
P.left = n2
// 删除节点 P
n1.left = n2
```

=== "Zig"

```zig title="binary_tree.zig"

```

!!! note

插入节点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除节点往往意味着删除了该节点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。

7.1.3.   常见二叉树类型

完美二叉树

「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 0 ，其余所有节点的度都为 2 ；若树高度 = h ，则节点总数 = 2^{h+1} - 1 ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。

!!! tip

在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。

Fig. 完美二叉树

完全二叉树

「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

完全二叉树非常适合用数组来表示。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空节点 null 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。

Fig. 完全二叉树

完满二叉树

「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

Fig. 完满二叉树

平衡二叉树

「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 \leq 1 。

Fig. 平衡二叉树

7.1.4.   二叉树的退化

当二叉树的每层的节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。

• 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
• 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 O(n) ；

Fig. 二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。

	完美二叉树	链表
第 i 层的节点数量	2^{i-1}	1
树的高度为 h 时的叶节点数量	2^h	1
树的高度为 h 时的节点总数	2^{h+1} - 1	h + 1
树的节点总数为 n 时的高度	\log_2 (n+1) - 1	n - 1

7.1.5.   二叉树表示方式 *

我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 TreeNode ，节点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。

那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的「映射公式」：设节点的索引为 i ，则该节点的左子节点索引为 2i + 1 、右子节点索引为 $2i + 2$ 。

本质上，映射公式的作用就是链表中的指针。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问子节点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。

Fig. 完美二叉树的数组表示

然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空节点（即 null ），而层序遍历序列并不包含这些空节点，并且我们无法单凭序列来猜测空节点的数量和分布位置，即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。

Fig. 给定数组对应多种二叉树可能性

为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。

=== "Java"

```java title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
```

=== "Python"

```python title=""
# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
```

=== "Go"

```go title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

Fig. 任意类型二叉树的数组表示

回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空节点，并且最底层的节点尽量靠左，因而所有空节点都一定出现在层序遍历序列的末尾。因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。

Fig. 完全二叉树的数组表示

数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问节点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少节点的数据，空间利用率很低。