mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2024-12-28 07:56:28 +08:00

krahets cfdb743939 build

2024-03-21 04:22:07 +08:00

16 KiB

Raw Blame History

comments
true

15.3 最大容量问题

!!! question

输入一个数组 $ht$ ，其中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。

容器的容量等于高度和宽度的乘积（面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。

请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。示例如图 15-7 所示。

{ class="animation-figure" }

图 15-7 最大容量问题的示例数据

容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$ 。

根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的数组索引之差。设容量为 cap[i, j] ，则可得计算公式：

$$ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)

设数组长度为 n ，两个隔板的组合数量（状态总数）为 C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2} 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 O(n^2) 。

1. 贪心策略确定

这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 [i, j] ，其满足索引 i < j 且高度 ht[i] < ht[j] ，即 i 为短板、j 为长板。

{ class="animation-figure" }

图 15-8 初始状态

如图 15-9 所示，若此时将长板 j 向短板 i 靠近，则容量一定变小。

这是因为在移动长板 j 后，宽度 j-i 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ i 仍为短板）或变小（移动后的 j 成为短板）。

{ class="animation-figure" }

图 15-9 向内移动长板后的状态

反向思考，我们只有向内收缩短板 i ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 i 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。

{ class="animation-figure" }

图 15-10 向内移动短板后的状态

由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针，使其分列容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。

图 15-11 展示了贪心策略的执行过程。

初始状态下，指针 i 和 j 分列数组两端。
计算当前状态的容量 cap[i, j] ，并更新最大容量。
比较板 i 和板 j 的高度，并将短板向内移动一格。
循环执行第 2. 步和第 3. 步，直至 i 和 j 相遇时结束。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

=== "<9>" { class="animation-figure" }

图 15-11 最大容量问题的贪心过程

2. 代码实现

代码循环最多 n 轮，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。

变量 $i$、$j$、res 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$ 。

=== "Python"

```python title="max_capacity.py"
def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
    """最大容量：贪心"""
    # 初始化 i, j，使其分列数组两端
    i, j = 0, len(ht) - 1
    # 初始最大容量为 0
    res = 0
    # 循环贪心选择，直至两板相遇
    while i < j:
        # 更新最大容量
        cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
        res = max(res, cap)
        # 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j]:
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="max_capacity.cpp"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    int i = 0, j = ht.size() - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Java"

```java title="max_capacity.java"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    int i = 0, j = ht.length - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = Math.max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "C#"

```csharp title="max_capacity.cs"
/* 最大容量：贪心 */
int MaxCapacity(int[] ht) {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    int i = 0, j = ht.Length - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = Math.Max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Go"

```go title="max_capacity.go"
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht []int) int {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    i, j := 0, len(ht)-1
    // 初始最大容量为 0
    res := 0
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    for i < j {
        // 更新最大容量
        capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
        res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
        // 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j] {
            i++
        } else {
            j--
        }
    }
    return res
}
```

=== "Swift"

```swift title="max_capacity.swift"
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht: [Int]) -> Int {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    var i = ht.startIndex, j = ht.endIndex - 1
    // 初始最大容量为 0
    var res = 0
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while i < j {
        // 更新最大容量
        let cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
        res = max(res, cap)
        // 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j] {
            i += 1
        } else {
            j -= 1
        }
    }
    return res
}
```

=== "JS"

```javascript title="max_capacity.js"
/* 最大容量：贪心 */
function maxCapacity(ht) {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    let i = 0,
        j = ht.length - 1;
    // 初始最大容量为 0
    let res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        const cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = Math.max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i += 1;
        } else {
            j -= 1;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "TS"

```typescript title="max_capacity.ts"
/* 最大容量：贪心 */
function maxCapacity(ht: number[]): number {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    let i = 0,
        j = ht.length - 1;
    // 初始最大容量为 0
    let res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        const cap: number = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = Math.max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i += 1;
        } else {
            j -= 1;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Dart"

```dart title="max_capacity.dart"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(List<int> ht) {
  // 初始化 i, j，使其分列数组两端
  int i = 0, j = ht.length - 1;
  // 初始最大容量为 0
  int res = 0;
  // 循环贪心选择，直至两板相遇
  while (i < j) {
    // 更新最大容量
    int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
    res = max(res, cap);
    // 向内移动短板
    if (ht[i] < ht[j]) {
      i++;
    } else {
      j--;
    }
  }
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="max_capacity.rs"
/* 最大容量：贪心 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    let mut i = 0;
    let mut j = ht.len() - 1;
    // 初始最大容量为 0
    let mut res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while i < j {
        // 更新最大容量
        let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
        res = std::cmp::max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j] {
            i += 1;
        } else {
            j -= 1;
        }
    }
    res
}
```

=== "C"

```c title="max_capacity.c"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int ht[], int htLength) {
    // 初始化 i, j，使其分列数组两端
    int i = 0;
    int j = htLength - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int capacity = myMin(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = myMax(res, capacity);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Zig"

```zig title="max_capacity.zig"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```

??? pythontutor "可视化运行"

<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20max_capacity%28ht%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20i,%20j%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E5%85%B6%E5%88%86%E5%88%97%E6%95%B0%E7%BB%84%E4%B8%A4%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28ht%29%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%200%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E8%87%B3%E4%B8%A4%E6%9D%BF%E7%9B%B8%E9%81%87%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20%3D%20min%28ht%5Bi%5D,%20ht%5Bj%5D%29%20*%20%28j%20-%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20max%28res,%20cap%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%90%91%E5%86%85%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E7%9F%AD%E6%9D%BF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ht%5Bi%5D%20%3C%20ht%5Bj%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20ht%20%3D%20%5B3,%208,%205,%202,%207,%207,%203,%204%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%0A%20%20%20%20res%20%3D%20max_capacity%28ht%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20max_capacity%28ht%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20i,%20j%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E5%85%B6%E5%88%86%E5%88%97%E6%95%B0%E7%BB%84%E4%B8%A4%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28ht%29%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%200%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E8%87%B3%E4%B8%A4%E6%9D%BF%E7%9B%B8%E9%81%87%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20%3D%20min%28ht%5Bi%5D,%20ht%5Bj%5D%29%20*%20%28j%20-%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20max%28res,%20cap%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%90%91%E5%86%85%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E7%9F%AD%E6%9D%BF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ht%5Bi%5D%20%3C%20ht%5Bj%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20ht%20%3D%20%5B3,%208,%205,%202,%207,%207,%203,%204%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%0A%20%20%20%20res%20%3D%20max_capacity%28ht%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>

3. 正确性证明

之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

比如在状态 cap[i, j] 下，i 为短板、j 为长板。若贪心地将短板 i 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。

$$ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]

{ class="animation-figure" }

图 15-12 移动短板导致被跳过的状态

观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 j 向内移动的所有状态。前面我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。

以上分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。

16 KiB Raw Blame History Unescape Escape

15.3 最大容量问题

1. 贪心策略确定

2. 代码实现

3. 正确性证明

16 KiB

Raw Blame History