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# 空间复杂度
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「空间复杂度 Space Complexity」统计 **算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势**。这个概念与时间复杂度很类似。
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## 算法相关空间
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算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：
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- 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
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- 「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；
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- 「输出空间」用于存储算法的输出数据；
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!!! tip
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通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
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暂存空间可分为三个部分：
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- 「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 **常量、变量、对象** 等。
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- 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。
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||
- 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，**在实际统计中一般忽略不计**。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 类 */
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class Node {
|
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int val;
|
||
Node next;
|
||
Node(int x) { val = x; }
|
||
}
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||
/* 函数 */
|
||
int function() {
|
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// do something...
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
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||
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
||
final int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
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```
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=== "C++"
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||
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||
```cpp title=""
|
||
/* 结构体 */
|
||
struct Node {
|
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int val;
|
||
Node *next;
|
||
Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
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};
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||
/* 函数 */
|
||
int func() {
|
||
// do something...
|
||
return 0;
|
||
}
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||
|
||
int algorithm(int n) { // 输入数据
|
||
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
|
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```
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=== "Python"
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||
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||
```python title=""
|
||
""" 类 """
|
||
class Node:
|
||
def __init__(self, x):
|
||
self.val = x # 结点值
|
||
self.next = None # 指向下一结点的指针（引用）
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||
|
||
""" 函数 """
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||
def function():
|
||
# do something...
|
||
return 0
|
||
|
||
def algorithm(n): # 输入数据
|
||
b = 0 # 暂存数据（变量）
|
||
node = Node(0) # 暂存数据（对象）
|
||
c = function() # 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c # 输出数据
|
||
```
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||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title=""
|
||
/* 结构体 */
|
||
type node struct {
|
||
val int
|
||
next *node
|
||
}
|
||
|
||
/* 创建 node 结构体 */
|
||
func newNode(val int) *node {
|
||
return &node{val: val}
|
||
}
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||
|
||
/* 函数 */
|
||
func function() int {
|
||
// do something...
|
||
return 0
|
||
}
|
||
|
||
func algorithm(n int) int { // 输入数据
|
||
const a = 0 // 暂存数据（常量）
|
||
b := 0 // 暂存数据（变量）
|
||
newNode(0) // 暂存数据（对象）
|
||
c := function() // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c // 输出数据
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title=""
|
||
/* 类 */
|
||
class Node {
|
||
val;
|
||
next;
|
||
constructor(val) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
|
||
this.next = null; // 指向下一结点的引用
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 函数 */
|
||
function constFunc() {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
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function algorithm(n) { // 输入数据
|
||
const a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
const b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
|
||
```
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||
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=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title=""
|
||
/* 类 */
|
||
class Node {
|
||
val: number;
|
||
next: Node | null;
|
||
constructor(val?: number) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
|
||
this.next = null; // 指向下一结点的引用
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 函数 */
|
||
function constFunc(): number {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
function algorithm(n: number): number { // 输入数据
|
||
const a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
const b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
|
||
```
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||
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||
=== "C"
|
||
|
||
```c title=""
|
||
|
||
```
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=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title=""
|
||
/* 类 */
|
||
class Node
|
||
{
|
||
int val;
|
||
Node next;
|
||
Node(int x) { val = x; }
|
||
}
|
||
|
||
/* 函数 */
|
||
int function()
|
||
{
|
||
// do something...
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
int algorithm(int n) // 输入数据
|
||
{
|
||
int a = 0; // 暂存数据（常量）
|
||
int b = 0; // 暂存数据（变量）
|
||
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
|
||
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c; // 输出数据
|
||
}
|
||
```
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||
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=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title=""
|
||
/* 类 */
|
||
class Node {
|
||
var val: Int
|
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var next: Node?
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init(x: Int) {
|
||
val = x
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 函数 */
|
||
func function() -> Int {
|
||
// do something...
|
||
return 0
|
||
}
|
||
|
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func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
|
||
let a = 0 // 暂存数据（常量）
|
||
var b = 0 // 暂存数据（变量）
|
||
let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
|
||
let c = function() // 栈帧空间（调用函数）
|
||
return a + b + c // 输出数据
|
||
}
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||
```
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=== "Zig"
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||
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```zig title=""
|
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```
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||
## 推算方法
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空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计“计算操作数量”变为统计“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，**我们一般只关注「最差空间复杂度」**。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
|
||
|
||
**最差空间复杂度中的“最差”有两层含义**，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。
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||
|
||
- **以最差输入数据为准**。当 $n < 10$ 时，空间复杂度为 $O(1)$ ；但是当 $n > 10$ 时，初始化的数组 `nums` 使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
|
||
- **以算法运行过程中的峰值内存为准**。程序在执行最后一行之前，使用 $O(1)$ 空间；当初始化数组 `nums` 时，程序使用 $O(n)$ 空间；因此最差空间复杂度为 $O(n)$ ；
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=== "Java"
|
||
|
||
```java title=""
|
||
void algorithm(int n) {
|
||
int a = 0; // O(1)
|
||
int[] b = new int[10000]; // O(1)
|
||
if (n > 10)
|
||
int[] nums = new int[n]; // O(n)
|
||
}
|
||
```
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||
=== "C++"
|
||
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||
```cpp title=""
|
||
void algorithm(int n) {
|
||
int a = 0; // O(1)
|
||
vector<int> b(10000); // O(1)
|
||
if (n > 10)
|
||
vector<int> nums(n); // O(n)
|
||
}
|
||
```
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=== "Python"
|
||
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```python title=""
|
||
def algorithm(n):
|
||
a = 0 # O(1)
|
||
b = [0] * 10000 # O(1)
|
||
if n > 10:
|
||
nums = [0] * n # O(n)
|
||
```
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=== "Go"
|
||
|
||
```go title=""
|
||
func algorithm(n int) {
|
||
a := 0 // O(1)
|
||
b := make([]int, 10000) // O(1)
|
||
var nums []int
|
||
if n > 10 {
|
||
nums := make([]int, n) // O(n)
|
||
}
|
||
fmt.Println(a, b, nums)
|
||
}
|
||
```
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||
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||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title=""
|
||
function algorithm(n) {
|
||
const a = 0; // O(1)
|
||
const b = new Array(10000); // O(1)
|
||
if (n > 10) {
|
||
const nums = new Array(n); // O(n)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title=""
|
||
function algorithm(n: number): void {
|
||
const a = 0; // O(1)
|
||
const b = new Array(10000); // O(1)
|
||
if (n > 10) {
|
||
const nums = new Array(n); // O(n)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
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||
=== "C"
|
||
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||
```c title=""
|
||
|
||
```
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=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title=""
|
||
void algorithm(int n)
|
||
{
|
||
int a = 0; // O(1)
|
||
int[] b = new int[10000]; // O(1)
|
||
if (n > 10)
|
||
{
|
||
int[] nums = new int[n]; // O(n)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title=""
|
||
func algorithm(n: Int) {
|
||
let a = 0 // O(1)
|
||
let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
|
||
if n > 10 {
|
||
let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title=""
|
||
|
||
```
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||
|
||
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如函数 `loop()`，在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而使用 $O(n)$ 的栈帧空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title=""
|
||
int function() {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
void loop(int n) {
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
function();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
void recur(int n) {
|
||
if (n == 1) return;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title=""
|
||
int func() {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
void loop(int n) {
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
func();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
void recur(int n) {
|
||
if (n == 1) return;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title=""
|
||
def function():
|
||
# do something
|
||
return 0
|
||
|
||
""" 循环 O(1) """
|
||
def loop(n):
|
||
for _ in range(n):
|
||
function()
|
||
|
||
""" 递归 O(n) """
|
||
def recur(n):
|
||
if n == 1: return
|
||
return recur(n - 1)
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title=""
|
||
func function() int {
|
||
// do something
|
||
return 0
|
||
}
|
||
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
func loop(n int) {
|
||
for i := 0; i < n; i++ {
|
||
function()
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
func recur(n int) {
|
||
if n == 1 {
|
||
return
|
||
}
|
||
recur(n - 1)
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title=""
|
||
function constFunc() {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
function loop(n) {
|
||
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
||
constFunc();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
function recur(n) {
|
||
if (n === 1) return;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title=""
|
||
function constFunc(): number {
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
function loop(n: number): void {
|
||
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
||
constFunc();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
function recur(n: number): void {
|
||
if (n === 1) return;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title=""
|
||
int function()
|
||
{
|
||
// do something
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
void loop(int n)
|
||
{
|
||
for (int i = 0; i < n; i++)
|
||
{
|
||
function();
|
||
}
|
||
}
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
int recur(int n)
|
||
{
|
||
if (n == 1) return 1;
|
||
return recur(n - 1);
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title=""
|
||
@discardableResult
|
||
func function() -> Int {
|
||
// do something
|
||
return 0
|
||
}
|
||
|
||
/* 循环 O(1) */
|
||
func loop(n: Int) {
|
||
for _ in 0 ..< n {
|
||
function()
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* 递归 O(n) */
|
||
func recur(n: Int) {
|
||
if n == 1 {
|
||
return
|
||
}
|
||
recur(n: n - 1)
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title=""
|
||
|
||
```
|
||
|
||
## 常见类型
|
||
|
||
设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
|
||
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
|
||
!!! tip
|
||
|
||
部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。
|
||
|
||
### 常数阶 $O(1)$
|
||
|
||
常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。
|
||
|
||
需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 $O(1)$ 。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity.java"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity.py"
|
||
[class]{}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity.go"
|
||
[class]{}-[func]{spaceConstant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="space_complexity.js"
|
||
[class]{}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity.ts"
|
||
[class]{}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity.c"
|
||
[class]{}-[func]{spaceConstant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity.cs"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="space_complexity.swift"
|
||
[class]{}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="space_complexity.zig"
|
||
[class]{}-[func]{constant}
|
||
```
|
||
|
||
### 线性阶 $O(n)$
|
||
|
||
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity.java"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity.py"
|
||
[class]{}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity.go"
|
||
[class]{}-[func]{spaceLinear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="space_complexity.js"
|
||
[class]{}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity.ts"
|
||
[class]{}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity.c"
|
||
[class]{}-[func]{spaceLinear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity.cs"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="space_complexity.swift"
|
||
[class]{}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="space_complexity.zig"
|
||
[class]{}-[func]{linear}
|
||
```
|
||
|
||
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity.java"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity.py"
|
||
[class]{}-[func]{linear_recur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity.go"
|
||
[class]{}-[func]{spaceLinearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="space_complexity.js"
|
||
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity.ts"
|
||
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity.c"
|
||
[class]{}-[func]{spaceLinearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity.cs"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="space_complexity.swift"
|
||
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="space_complexity.zig"
|
||
[class]{}-[func]{linearRecur}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
|
||
### 平方阶 $O(n^2)$
|
||
|
||
平方阶常见于元素数量与 $n$ 成平方关系的矩阵、图。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity.java"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity.py"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity.go"
|
||
[class]{}-[func]{spaceQuadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="space_complexity.js"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity.ts"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity.c"
|
||
[class]{}-[func]{spaceQuadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity.cs"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="space_complexity.swift"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="space_complexity.zig"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic}
|
||
```
|
||
|
||
在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体使用 $O(n^2)$ 空间。
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity.java"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity.py"
|
||
[class]{}-[func]{quadratic_recur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity.go"
|
||
[class]{}-[func]{spaceQuadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="space_complexity.js"
|
||
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity.ts"
|
||
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="space_complexity.c"
|
||
[class]{}-[func]{spaceQuadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="space_complexity.cs"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="space_complexity.swift"
|
||
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="space_complexity.zig"
|
||
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
|
||
```
|
||
|
||
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||
|
||
### 指数阶 $O(2^n)$
|
||
|
||
指数阶常见于二叉树。高度为 $n$ 的「满二叉树」的结点数量为 $2^n - 1$ ，使用 $O(2^n)$ 空间。
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||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="space_complexity.java"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="space_complexity.cpp"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="space_complexity.py"
|
||
[class]{}-[func]{build_tree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="space_complexity.go"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="space_complexity.js"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="space_complexity.ts"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
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||
|
||
```c title="space_complexity.c"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
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||
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||
```csharp title="space_complexity.cs"
|
||
[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
|
||
```
|
||
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||
=== "Swift"
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|
||
```swift title="space_complexity.swift"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
|
||
```
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||
=== "Zig"
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```zig title="space_complexity.zig"
|
||
[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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### 对数阶 $O(\log n)$
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对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。
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例如「归并排序」，长度为 $n$ 的数组可以形成高度为 $\log n$ 的递归树，因此空间复杂度为 $O(\log n)$ 。
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再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n) = O(\log n)$ 。
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